Äquivalenzklassen < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Di 06.11.2007 | | Autor: | myrna |
| Aufgabe | Es sei X die Teilmenge der Vereinigung von n Geraden in der Ebene.
Auf dem Komplement C = E² - X ist die Realation P~Q mit der Strecke PQ geschnitten X = leere Menge definiert.
1) Zeige, dass P~Q eine Äquivalenzrelation ist
2) Bestimme die Anzahl der Äquivalenzklassen als Funktion von n |
Hallo erstmal,
ich bin neu hier, verfolge aber das Forum schon seit einer Weile.
Bitte entschuldigt die etwas unmathematische Schreibweise, ich bin mit der Nutzung des Editors hier im Forum noch ncht so fit.
Aber ich denke mal, ihr könnt die Aufgabe nachvollziehen.
Die Äquivalenzrelation zu zeigen ist zeichnerisch und in Worten nicht schwer. Nicht klar ist mir, ob das hier geometrisch gefordert ist.
So weit ich weiss, gibt es einen geometrischen Beweis (für Transitivität), der aber eigentlich den Rahmen der Vorlesung (Mathe für Lehrämter) sprengen würde.
Informationen zum Thema aus Vorlesung und Tutorium sind sehr dürftig.
Mit diesen allein lassen sich die Ansätze zur Lösung solcher Aufgaben nicht herleiten (Es sei denn, man ist Fachmathematiker).
Aber die wichtigere Frage ist die 2.)
Wie sieht hier die Funktion von n aus ?
Eine Äquivalenzklasse kann doch nur innerhalb einer Äquivalenzrelation gebildet werden, oder?
Da die Relation PQ geschnitten mit X die leere Menge ist, kann doch keine Gerade in X, die verhindert, dass PQ, PR, oder QR eine Äquivalenzrelation ist, eine Äquivalenzklasse bilden.
Wenn ich also die Punkte P, Q und R so wähle, dass eine der daraus entstandenen Srecken eine Gerade aus n schneidet, dann wäre sie ja nicht Bestandteil der Äquivalenzrelation P~Q.
Also gibt es doch eigentlich nur die Äquivalenzklasse PQ geschnitten n = leere Menge.
Oder sind die beiden anderen Funktionen PR geschnitten n = leere Menge und QR geschnitten n = leere Menge ebenfalls Äquivalenzklassen ?
Oops, jetzt habe ich die Eingabehilfen da unten gefunden, ähem.
Nächstes mal benutze ich sie dann auch, versprochen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:12 Di 06.11.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Myrna, schön, daß du uns gefunden hast: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Es sei X die Teilmenge der Vereinigung von n Geraden in der
> Ebene.
> Auf dem Komplement C = E² - X ist die Realation P~Q mit
> der Strecke PQ geschnitten X = leere Menge definiert.
>
> 1) Zeige, dass P~Q eine Äquivalenzrelation ist
> 2) Bestimme die Anzahl der Äquivalenzklassen als Funktion
> von n
> Die Äquivalenzrelation zu zeigen ist zeichnerisch und in
> Worten nicht schwer. Nicht klar ist mir, ob das hier
> geometrisch gefordert ist.
Das glaube ich eher nicht, denn dann müßte man ein Axiomensystem der ebenen Geometrie zur Hand haben (s. Hilbert, Grundlagen der Geom.). Für die Transitivität braucht man so einen Satz wie: Wenn eine Gerade in ein Dreieck hineingeht, geht sie auch wieder heraus. Was anschaulich ja klar ist!
> So weit ich weiss, gibt es einen geometrischen Beweis (für
> Transitivität), der aber eigentlich den Rahmen der
> Vorlesung (Mathe für Lehrämter) sprengen würde.
Ebend!
> Aber die wichtigere Frage ist die 2.)
> Wie sieht hier die Funktion von n aus ?
> Eine Äquivalenzklasse kann doch nur innerhalb einer
> Äquivalenzrelation gebildet werden, oder?
Die Äquivalenzklassen sind doch Mengen von Punkten der Ebene. Die Geraden teilen die Ebene in Bereiche, und alle Punkte eines Bereichs sind äquivalent. Jetzt n = 1: Es gibt 1 Gerade, also 2 Bereiche, also 2 Äquivalenzklassen. n = 2: Schon wird's schwierig, 2 Geraden können sich schneiden oder parallel sein. Wie sieht es dann mit den Bereichen aus? Und was gibt es bei n = 3 an Möglichkeiten? Schlußfolgerung ist, daß die Anzahl der Äquivalenzklassen (im math. Sinne) keine Funktion von n ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Hallo,
ich bin neu hier und ich sitze vor der gleichen Aufgabe.
Mein Tutor hat die Aufgabe mit dem Zusatz in "allgemeiner Lage" versehen.
Er hat also die Parallelität ausgeschlossen... So geht es dann doch weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, wenn man noch ausschließt, dass mehr als 2 Geraden durch einen Punkt gehen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Di 06.11.2007 | | Autor: | myrna |
Hallo Dieter,
Danke für deine schnelle Antwort.
Wenn ich es richtig verstehe, hat also die 2. Frage eigentlich keinen direkten Bezug zur ersten.
Die Äquivalenzrelation P~Q ist nicht die, auf der die Äquivalenzklassen gebildet werden sollen, sondern es geht nur um n, also die Geraden in X.
Der Zusatz, den lumberjack erwähnt (die Geraden sind in allgemeiner Lage) ist auch in meiner Aufgabe vom Professor nachträglich ergänzt worden. Wahrscheinlich belegen lumberjack und ich den gleichen Kurs 
Ich hatte mal irgendwo einen Satz gefunden, der (sinngemäß) erklärt, dass die Geraden eine Ebene in Halbebenen zerlegen und diese Halbebenen dann die Äquivalenzklassen sind.
Ich hatte das so verstanden, dass die Gerade die Ebene teilt in Punkte, die zu der Gerade gehören und Punkte, die nicht dazu gehören.
Beides wären ja unendliche Mengen, oder ?
Nach deiner Erklärung (und auch durch den Zusatz des Profs, der die allgemeine Lage ergänzt hat) wären diese Halbebenen (ich nenne sie jetzt mal so, bin mir nicht sicher, ob der Begriff hier richtig ist) aber nicht die Punkte, die auf der Geraden, bzw. nicht auf der Geraden liegen, sondern es wären die Punkte auf den Flächen der Ebene, die durch die Geraden gebildet wurden.
Bin im Moment etwas ratlos, vor allem, weil ich den Bezug zwischen der ersten und der zweiten Frage nicht erkenne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Irgendwie hast du das mit den Äquivalezklassen missverstanden.
1. Eine Gerade teilt [mm] E^2 [/mm] in 2 Teile, alle Punkte auf einer Seite sind zueinander äquivalent, alle auf der anderen auch.
also 2 Klassen.
nimm ne zweite Gerade dazu (allgemein, also nicht parallel dann ist jetzt die Ebene in 4 "Sektoren geteilt, die Punkte jeder der Sektoren sind untereinander äquiv. also 4 Klassen. Nimm ne dritte Gerade, die nicht parallel ist, zähl wieder die Gebiete usw. dann nimm n-Geraden stell ne Vermutung auf, und zeig sie durch Induktion!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Di 06.11.2007 | | Autor: | KristinaK |
Hi, ich habe die gleiche aufgabe zu lösen, du scheinst auch in Elementarmathematik I bei herr bieri zu sein.
hast du denn nun die allgemeine Formel für f(n) gefunden?
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Jetzt mal ohne Gewähr:
Wenn du weisst wie man das hier auch schreiben kann:
(1+2+3+...+n) (Tipp: das hier hat ein Neunjähriger hingekriegt)
dann kommst auch darauf:
(2+2+3+...+n)
1 Gerade = 2
2 Geraden = 4
Ich hoffe das ist nicht völlig daneben...
Ich bin mir aber bei dem Ansatz der Induktion nicht sicher (im Trüben fisch)
Ich will gar keine Lösung. aber kann es sein, dass das nur ein Dreizeiler wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst deinen Dreizeiler schon aufschreiben, damit ich beurteilen kann, ob er richtig ist.
Was benutzt du um von n nach n+1 zu kommen?
(2 und 4 sind nie typisch, weil 4=2*2, 4=2+2 [mm] 4=2^2!
[/mm]
Gruss leduart
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3 Geraden = 7
4 Geraden = 7 + 4 = 11
Naja, dann oute ich mich mal mit meinem rumgeeier  Habe so ein paar handwerkliche Dinge einfach vergessen...
Das f(n) will ich nicht reinschreiben weil vom abschreiben lernt man nichts, wie ich mittlerweile weiss. Glaube mein Tipp (s.o.) langt.
habe auf jeden Fall substituiert:
IV(?):f(n) = S(n)
f(n) + (n+1) = S(n) + (n+1) - darf ich das so schreiben?
in das S(n) kann ich jetzt das f(n) (siehe IV) reinstecken und fertig! (hoffentlich)
f(n)+(n+1) = f(n) + (n+1)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit ich sehe behauptest du ne Formel,S(n) und sagst dann dass die Formel für n+1 auch gilt. hingeschrieben hast dus von 2 Geraden nach 3 Geraden, auch ohne Begründung.
(Der Beweis der einfachen Summenformel ist doch nicht das Problem, dazu braucht man nicht mal Induktion)
Wo ist ein einziges Argument, was sagt, dass man bei Hinzufügen einer Geraden zu den vorhandenen n n+1 neue "Gebiete" für P Q bekommt.?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Di 06.11.2007 | | Autor: | lumberjack |
Ach verda...! Ich glaub das wird bei mir nichts, hoffnungsloser Fall...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Di 06.11.2007 | | Autor: | myrna |
Eigentlich geb ich dir völlig recht.
Das Problem ist nur, dass in der Vorlesung, die von den Leuten hier belegt wird, Begriffe wie arithmetische Reihe etc. gar nicht zur Sprache kommen, bzw. (bzgl. Gaußsche Summenformel) so rasant abgehandelt werden, dass nicht einmal Zeit zum mitschreiben bleibt, geschweige denn, dem Stoff noch folgen zu können.
Das Problem ist : Das sind hier alles Lehramtsleute, die neben Mathe noch etliche andere Fächer belegen, in denen sie ebenfalls täglich Aufgaben lösen müssen.
Die meisten von denen trauen sich zum Beispiel erst gar nicht in ein Forum, wie das hier rein, wel sie befürchten, dass hier nur Fachmathematiker sind, die ihnen Sachen erzählen, die sie nicht begreifen können.
Ich selbst brauche für Mathe z.B. etwa 90% meiner gesamten Unizeit.
Alle anderen (bei mir zur Zeit 8) Fächer laufen auf Sparflamme nebenbei.
Heisst dann letztlich : es bleibt keine Zeit, den Stoff sinnvoll zu verarbeiten, sondern es müssen einfach jede Woche 10 bis 12 Matheaufgaben auf 5 bis 8 Zetteln abgegeben werden, um die Berechtigung zu haben, an der anschliessenden Klausur teilnehmen zu können.
Es wäre sicher wesentlich effizienter, den Studenten nur 2 Aufgaben wöchentlich zu erteilen, mit denen sie sich dann intensiv befassen können.
Die Summenformel ist hier z.B. nicht die gewöhnliche Gaußsche, sondern eine leicht veränderte, da keine Gerade sich selbst schneidet.
Aber das haben selbst einige der Tutoren zu der entsprechenden Vorlesung nicht registriert und einen falschen Induktionsbeweis eingefordert. Daher sind die meisten Studenten nun erst recht verwirrt, wie sie damit umgehn sollen.
Ich sehe das alles nur deshalb etwas gelassener, weil ich schon übleres erlebt habe. Wenn ich heute 20 wäre, würde ich wahrscheinlich genauso verzweifeln, wie viele meiner Mitstudenten.
Und die, die an Fachmathematik scheitern, sind nicht unbedingt diejenigen, die keine guten (Mathe-)Lehrer sind
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Di 06.11.2007 | | Autor: | myrna |
genau, Elema 1 bei unserm Gipfelstürmer
f(n) = [mm] \bruch{n(n-1)}{2} [/mm] + (n+1)
Das ist quasi die Formel für die Schnittpunkte der Geraden in der Ebene (aus Übungszettel 1) plus (n+1).
Bin drauf gekommen, weil es einen Zusammenhang zwischen Schnittpunkten und Geraden geben musste.
Hab fast 2 Stunden für gebraucht, weil ich leider bei n=5 nur 15 statt 16 Flächen gezählt hatte *haarerauf*.
Unser Tutor will jetzt sicher wieder nicht glauben, dass man die Formel auch selbst rauskriegen kann, in dem man einfach probiert und verlangt dann ne mathematische Herleitung, die aber ich dann wider nicht kapier.
So...und jetzt die andern Aufgaben. Man gönnt sich ja sonst nix ^^
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