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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Di 20.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Äquivalenzrelation auf M und soll zeigen, dass für Elemente $a,b [mm] \in [/mm] M$ gilt, dass $a [mm] \sim [/mm] b [mm] \Leftrightarrow [/mm] [a]=[b]$.
Dazu nehmen wir ein weiteres Element $c [mm] \in [/mm] M$ mit $c [mm] \sim [/mm] a$ und sagen, dass aus $c [mm] \sim [/mm] a$ und $a [mm] \sim [/mm] b$ folgt, dass $c [mm] \sim [/mm] b$.
Das verstehe ich.
Jetzt sagen wir, dass damit folgt, dass $[a] [mm] \subset [/mm] [b]$.
Dem kann ich irgendwie nicht folgen. Woher weiß ich, dass die Teilmengenrelation genau so rum ist?
Es ist ja zwar c aus der Äquivalenzklasse von a, also aus $c [mm] \in [/mm] [a]$ weil $c [mm] \sim [/mm] a$, und c aus der Äquivalenzklasse von b, also aus $c [mm] \in [/mm] [b]$ weil $c [mm] \sim [/mm] b$, aber woher weiß ich, dass nicht trotzdem $[b] [mm] \subset [/mm] [a]$ ist?
LG, Nadine
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Hallo,
es soll also gezeigt werden
[mm] a\sim [/mm] b ==> [a]=[b],
was gleichbedeutend ist mit
[mm] a\sim [/mm] b ==> [mm] [a]\subseteq [/mm] [b] und [mm] [b]\subseteq [/mm] [a].
In Deinem Beweis wird zunächst gezeigt, daß [mm] [a]\subseteq [/mm] [b] gilt:
Sei [mm] c\in [/mm] [a].
Dann ist [mm] c\sim [/mm] a.
Nach Voraussetzung gilt [mm] a\sim [/mm] b, und mit der Transitivität bekommt man [mm] c\sim [/mm] b,
woraus folgt [mm] c\in [/mm] [b].
Insgesamt hast Du also: [mm] (c\in [/mm] [a] ==> [mm] c\in [/mm] [b]), was gleichbedeutend ist mit [mm] [a]\subseteq [/mm] [b]. (Def. der Teilmenge)
Nun müßte man als nächstes [mm] [b]\subseteq [/mm] [a] zeigen. Mach das doch mal.
Beide Teilmengenbeziehungen gelten.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Di 20.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela!
Danke für deine Antwort, ich habe völlig die formale Definition einer Teilmenge vergessen...
Hier der Beweis für die andere Richtung:
Zu zeigen: $[b] [mm] \subseteq [/mm] [a]$
Sei $c [mm] \in [/mm] [b]$, also $c [mm] \sim [/mm] b$.
Nach Voraussetzung ist $a [mm] \sim [/mm] b$, mit Symmetrie folgt $b [mm] \sim [/mm] a$.
Aus $c [mm] \sim [/mm] b$ und $b [mm] \sim [/mm] a$ folgt mit Transitivität, dass $c [mm] \sim [/mm] a$, also $c [mm] \in [/mm] [a]$.
Also haben wir: Aus $c [mm] \in [/mm] [b]$ folgt $c [mm] \in [/mm] [a]$, also nach Teilmengen-Defintion, dass $[b] [mm] \subseteq [/mm] [a]$
Beide Richtungen zusammenfassen: Da $[a] [mm] \subseteq [/mm] [b]$ und $[b] [mm] \subseteq [/mm] [a]$ folgt $[a] = [b]$
Ist es so richtig?
LG, Nadine
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Hallo,
ja, richtig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:25 Di 20.10.2009 | | Autor: | Pacapear |
Vielen Dank 
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