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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Do 17.01.2008 | | Autor: | Sensei |
| Aufgabe | Betrachten Sie die auf NXN definierte Relation:
(n,m) ~ + (i,j) genau dann, wenn n+j = m+i gilt und die auf NXN~+ definierte Operation:
[(n,m)] ~+ [(i,j)]~+ := [(n+i, m+j)]~+.
a) Zeigen Sie, dass (3,5) ~+ (5,7) gilt.
b) Beweisen Sie, dass ~+ eine Äquivalenzrelation ist.
c) Geben Sie die Äquivalenzklasse [(3,5)]~+ an.
d) Bestimmen Sie ein vollständiges Repräsentantensystem für: Z := NXN~+
e) Geben Sie das Ergebnis von [(5,3)] ~+ [(3,5)]~+ in diesem Repräsentantensystem an. |
Kann mir jemend zu der obigen Aufgabenstellung Hilfe leisten? Was drückt ein Repräsentantensystem überhaupt aus bzw. was ist ein vollständiges Repräsentantensystem? Wie gebe ich eine Äquivalenzklasse an?
Mein Ansatz zu den Aufgaben ist wie folgt:
a) reflexiv, symmetrisch, transitiv zeigen
b) wie a)
c) weitere Repräsentanten müssten z.B. [(0,2), (5,7), (1,3)...] sein. Jedoch weiß ich nicht, wie ich die Klasse angebe?!
d) keine Ahnung
e) keine Ahnung
Es wäre wirklich super, wenn mir jemand Helfen könnte, da ich bei diesem Thema einige Probleme habe!
Vielen Dank für Eure Antworten.
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> Betrachten Sie die auf NXN definierte Relation:
> (n,m) ~ + (i,j) genau dann, wenn n+j = m+i gilt und die
> auf NXN~+ definierte Operation:
> [(n,m)] ~+ [(i,j)]~+ := [(n+i, m+j)]~+.
>
> a) Zeigen Sie, dass (3,5) ~+ (5,7) gilt.
> b) Beweisen Sie, dass ~+ eine Äquivalenzrelation ist.
> c) Geben Sie die Äquivalenzklasse [(3,5)]~+ an.
> d) Bestimmen Sie ein vollständiges Repräsentantensystem
> für: Z := NXN~+
> e) Geben Sie das Ergebnis von [(5,3)] ~+ [(3,5)]~+ in
> diesem Repräsentantensystem an.
> Mein Ansatz zu den Aufgaben ist wie folgt:
> a) reflexiv, symmetrisch, transitiv zeigen
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, bei Aufgabe a) mußt Du nur zeigen, daß die oben definierte Bedingung für Äquivalenz der beiden Zahlenpaare erfüllt ist.
> b) wie a)
Wie bei a) ursprünglich von Dir geplant.
> c) weitere Repräsentanten müssten z.B. [(0,2), (5,7),
> (1,3)...] sein.
Ja, wenn die 0 bei Euch in [mm] \IN [/mm] enthalten ist, ist das richtig.
> Jedoch weiß ich nicht, wie ich die Klasse
> angebe?!
Nun, diese Zahlenpaare haben ja eine ganz bestimmte Eigenschaft, 1. und 2. Komponente unterscheiden sich jeweils um 2.
Also kannst Du z.B. schreiben [mm] [(3,5)]=\{(x,y)\in \INx\IN | y=...\}
[/mm]
Die Äquivalenzklasse von (3,5), geschrieben: [(3,5)], enthält sämtliche Zahlenpaare, die zu (3,5) äquivalent sind. (3,5) ist ein Repräsentant dieser Klasse, ebeso wie (19,21) und viel mehr.
> d) keine Ahnung
Wenn Du Aufgabe c) richtig verstanden hast, hast Du verstanden, daß z.B. [(3,5)]=[(19,21)]=[(7,9)].
Wenn Du nun den Wunsch hast, sämtliche Äquivalenzklassen anzugeben, mußt Du Dir etwas einfallen lassen, denn wenn Du einfach samtliche Zahlenpaare in eckigen Klammern aufzählst, hast Du sehr viele Mengen doppelt dabei.
Die Frage ist: kannst Du eine Menge von Repräsentanten so angeben, daß deren Restklassen genau die Restklassen bzgl dieser Äquivalenzrelation sind? Keine soll fehlen, keine doppelt sein.
> e) keine Ahnung
Da Du das Repräsentantensystem noch nicht hast, müssen wir das etwas aufschieben.
Aber die Vorarbeiten kannst Du erledigen: wie die beiden zu addieren sind, ist ja in der Aufgabenstellung erklärt. Daas kannst Du auf jeden Fall schonmal tun.
Gruß v. Angela
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