Äquivalenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:27 So 20.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
| Aufgabe | Untersuchen Sie , welche der folgenden Relationen ~ in der jeweiligen Menge A Äquivalenzrelationen sind
A:= [mm] \IR [/mm] x ~ x : [mm] \gdw \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : x= [mm] y+2k\pi [/mm] |
Hallo zusammen ,
also um dies zuz lösen gehe ich dann mal die Bedingunden durch
reflexiv : x ~ x
also : x= [mm] x+2k\pi [/mm] zu prüfen
symetrisch
x ~ y [mm] \Rightarrow [/mm] y~ x
also x= [mm] y+2k\pi [/mm] Rightarrow y= [mm] x+2k\pi [/mm] zu prüfen
transitiv x ~ y [mm] \Rightarrow [/mm] y ~ z [mm] \Rightarrow [/mm] x ~ z
also
x= [mm] y+2k\pi \Rightarrow [/mm] y= [mm] z+2k\pi \Rightarrow [/mm] x= [mm] z+2k\pi [/mm] zu prüfen
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Hallo Thomas,
> Untersuchen Sie , welche der folgenden Relationen ~ in der
> jeweiligen Menge A Äquivalenzrelationen sind
> A:= [mm]\IR[/mm] x ~ x : [mm]\gdw \exists[/mm] k [mm]\in \IZ[/mm] : x= [mm]y+2k\pi[/mm]
> Hallo zusammen ,
> also um dies zuz lösen gehe ich dann mal die Bedingunden
> durch
>
> reflexiv : x ~ x
>
> also : x= [mm]x+2k\pi[/mm] zu prüfen
hmm, genauer ist zu prüfen, ob es ein [mm] $k\in\IZ$ [/mm] gibt, so dass [mm] $x=x+2k\pi$
[/mm]
Offensichtlich gibts es ein solches [mm] $k\in\IZ$, [/mm] nämlich $k=...$
>
>
>
> symetrisch
>
> x ~ y [mm]\Rightarrow[/mm] y~ x
>
> also x= [mm]y+2k\pi[/mm] Rightarrow y= [mm]x+2k\pi[/mm] zu prüfen
nein, die "k's" sind ja nicht zwangsläufig dieselben.
zu prüfen ist, ob aus [mm] $x\sim [/mm] y$ auch [mm] $y\sim [/mm] x$ folgt:
[mm] $x\sim [/mm] y$ bedeutet: es gibt ein [mm] $k\in\IZ$, [/mm] so dass [mm] $x=y+2k\pi$
[/mm]
zu prüfen ist nun, ob es ein [mm] $\tilde{k}\in\IZ$ [/mm] gibt mit [mm] $y=x+2\tilde{k}\pi$
[/mm]
Also: [mm] $x\sim y\Rightarrow \exists k\in\IZ [/mm] : [mm] x=y+2k\pi$
[/mm]
Das kannst du nach y umstellen: [mm] $y=x-2k\pi=x+2(\red{-k})\pi$
[/mm]
wähle also [mm] $\tilde{k}:=-k$, [/mm] so folgt die Beh.
>
> transitiv x ~ y [mm]\Rightarrow[/mm] y ~ z [mm]\Rightarrow[/mm] x ~ z
>
> also
>
> x= [mm]y+2k\pi \Rightarrow[/mm] y= [mm]z+2k\pi \Rightarrow[/mm] x=
> [mm]z+2k\pi[/mm] zu prüfen
Auch hier sind die "k's" wieder verschieden.
[mm] $x\sim y\Rightarrow \exists k_1\in\IZ [/mm] : [mm] x=y+2k_1\pi$
[/mm]
[mm] $y\sim z\Rightarrow \exists k_2\in\IZ [/mm] : [mm] y=z+2k_2\pi$
[/mm]
Kannst du nun daraus wie oben ein [mm] $\tilde{k}\in\IZ$ [/mm] basteln, so dass [mm] $x=z+2\tilde{k}\pi$, [/mm] also [mm] $x\sim [/mm] z$ ?
>
>
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:37 So 20.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hey ,
also ist für die Reflexivitätt zu prüfen :
[mm] \exists [/mm] k [mm] \IZ [/mm] : x = x + 2* k * [mm] \pi
[/mm]
Die Gleichung stimmt für k = 0
und k = 0 [mm] \in \IZ
[/mm]
also ist die Relaton reflexiv
richtig endlich ??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:58 So 20.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hey
Also hier dann mal meine Formulierung der symetrie :
nach definition der Relation :
[mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : x= y +2 k [mm] \pi
[/mm]
Bedingung Symetrie : [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : y = x + [mm] 2k\pi
[/mm]
Umstellen y = x - [mm] 2k\pi [/mm] = x + [mm] 2(-k)\pi
[/mm]
wähle für k (-k) da k [mm] \in \IZ \Rightarrow [/mm] (-k) [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] y = x+ [mm] 2k\pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Bedingung erfüllt [mm] \Rightarrow [/mm] symetrisch
Nun die Transitivittät :
x ~ y und y ~ z [mm] \Rightarrow [/mm] x~z
Bezug auf Aufgabe
Bedingung Transitivität :
[mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IZ [/mm] : 1) x = y + 2 k [mm] \pi [/mm] und ( 2) [mm] x=y+2k\pi [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] ( 3) x = z + [mm] 2k\pi [/mm]
Hier gibt es doch wieder k = 0 oder ?
dann ist x = y = z und somit transitiv
Schluss : A ist Äquivalenzrelation oder ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 So 20.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
> Hey
>
> Also hier dann mal meine Formulierung der symetrie :
>
> nach definition der Relation :
>
> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in \IZ[/mm] : x= y +2 k [mm]\pi[/mm]
>
> Bedingung Symetrie : [mm]\exists[/mm] k [mm]\in \IZ[/mm] : y = x + [mm]2k\pi[/mm]
Nicht ganz: der Bezeichner k ist ja schon belegt (für das k aus der [mm] x=2+2k\pi [/mm] ). Besser : [mm] $\exists [/mm] k' [mm] \ldots$ [/mm] und dann entsprechend mit k' weiter.
> Umstellen y = x - [mm]2k\pi[/mm] = x + [mm]2(-k)\pi[/mm]
>
> wähle für k (-k) da k [mm]\in \IZ \Rightarrow[/mm] (-k) [mm]\in \IZ[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] y = x+ [mm]2k\pi[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Bedingung erfüllt [mm]\Rightarrow[/mm] symetrisch
>
>
> Nun die Transitivittät :
>
> x ~ y und y ~ z [mm]\Rightarrow[/mm] x~z
>
> Bezug auf Aufgabe
>
>
> Bedingung Transitivität :
>
>
> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in \IZ[/mm] : 1) x = y + 2 k [mm]\pi[/mm] und ( 2)
> [mm]x=y+2k\pi[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] ( 3) x = z + [mm]2k\pi[/mm]
>
1) und 2) sind ja genau gleich, da kannst Du Dir wohl eines sparen...
Ich nehme mal an, bei 2.) meinst du [mm] y=z+2k\pi
[/mm]
Und 3) wäre ja zu zeigen...
Ansonsten ist hier das gleiche Problem: Du benutzt den gleichen Bezeichner k für zwei völlig verschiedene Zahlen. Eigentlich ist es doch so:
[mm] $\exists [/mm] k,k' [mm] \in \IZ [/mm] : [mm] x=y+2k\pi \wedge y=z+2k'\pi$
[/mm]
> Hier gibt es doch wieder k = 0 oder ?
Nein, weil wir ja zwei verschiedene k haben. Und in 3) brauchen wir ein drittes k (z.B. k''). Wie bestimmt sich das aus k und k'??
>
> dann ist x = y = z und somit transitiv
>
> Schluss : A ist Äquivalenzrelation oder ?
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 So 20.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hi danke erstmal
hier meine Lösung für die transitivität :
Bedingung : [mm] \exists [/mm] k,k',k'' [mm] \in \IZ [/mm] :
1) x = y + 2 k [mm] \pi
[/mm]
2) y = z + 2 k' [mm] \pi
[/mm]
Aus 1) und 2 ) [mm] \Rightarrow [/mm] 3) x = z + 2 k'' [mm] \pi
[/mm]
Prüfung
setze y aus 2) in 1) ein
[mm] \Rightarrow [/mm] 4) x = z + 2 k' [mm] \pi [/mm] + 2 k [mm] \pi
[/mm]
setze x aus 3) in 4 ) ein
[mm] \Rightarrow [/mm] 5) z + 2 k'' [mm] \pi [/mm] = z + 2 [mm] k'\pi [/mm] + 2 k [mm] \pi
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] z+ 2 k'' [mm] \pi [/mm] - z - [mm] 2'\pi [/mm] - 2 k [mm] \pi [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] ( 2 k'' - 2 k' - 2 k ) * [mm] \pi [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] 2 k'' - 2 k' - 2 k = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] 2 * ( k'' - k' - k ) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] k'' - k' - k = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] k'' = k' + k
setze k' = 2k [mm] \Rightarrow [/mm] k'' = 3 k
[mm] \Rightarrow [/mm] k ; k'; k'' [mm] \in \IZ
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Bedingung erfüllt
[mm] \Rightarrow [/mm] A ist transitiv
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 So 20.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
Menge A := [mm] \IN [/mm] , m~n [mm] \gdw [/mm] m ist durch n teilbar , d.h. [mm] \exists [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] :
m=n*k
Reflexivität hab ich raus : k' = 1
symetrie : Bedingung [mm] \exists [/mm] k' [mm] \in \IN [/mm] : n = m * k'
Vorraussetzung : m = n * k
[mm] \Rightarrow [/mm] n = [mm] \bruch{m}{k}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{4} [/mm] n = m * [mm] \bruch{1}{k}
[/mm]
definiere k' = [mm] \bruch{1}{k} \not\in \IZ [/mm] ( außer k = 1 )
[mm] \Rightarrow [/mm] nicht symetrisch
richtig ?
Danke
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Hallo Thomas,
das stimmt zwar in der Aussage ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , ist aber "schrecklich" aufgeschrieben (ist nicht böse gemeint  )
Wie kommt zB. so kommentarlos die [mm] $\frac{3}{4}$ [/mm] dahin, da muss man sich ja zusammenreimen, was du meinst
Formal(er) vllt. so:
Um die Symmetrie zu zeigen, müsstest du ja zeigen, dass [mm] $\forall n,m\in\IN [/mm] : [mm] n\sim m\Rightarrow m\sim [/mm] n$ gilt
Um die Symmetrie zu widerlegen (wie hier) musst du die Verneinung der Aussage oben zeigen, also [mm] $\neg \left(\forall n,m\in\IN : n\sim m\Rightarrow m\sim n\right)$
[/mm]
bzw. [mm] $\exists n,m\in\IN [/mm] : [mm] n\sim [/mm] n \ [mm] \wedge [/mm] \ [mm] m\nsim [/mm] n$
Also ein Existenzbeweis, es genügt also ein Paar $(n,m)$ anzugeben, so dass [mm] $n\sim [/mm] m$, aber nicht [mm] $m\sim [/mm] n$
Nehmen wir $n=3, m=6$
Dann gilt zwar 3 teilt 6, aber nicht 6 teilt 3, also gibt es zwar ein [mm] $k\in\IN$ [/mm] ($k=2$) mit [mm] $6=3\cdot{}k=3\cdot{}2$, [/mm] aber es gibt kein [mm] $k'\in\IN$ [/mm] mit [mm] $3=6\cdot{}k'$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 20.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
A:= [mm] \IR [/mm] x~y: l x - y l < [mm] \bruch{1}{100}
[/mm]
Reflexivität ist klar ,denn x - x ist 0 < [mm] \bruch{1}{100}
[/mm]
symetrie
Bedingung : [mm] \exists [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] : x~y [mm] \Rightarrow [/mm] y~x
Negatiion : [mm] \exists [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] : x~y [mm] \not\Rightarrow [/mm] y~x
setze für x : [mm] \bruch{1}{100} [/mm]
setze für y : 1
[mm] \Rightarrow [/mm] l 1 - [mm] \bruch{1}{100} [/mm] l < [mm] \bruch{1}{100} [/mm] falsch
[mm] \Rightarrow [/mm] nicht symetrisch
richtig ?
Danke
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Hallo nochmal,
>
> Hallo ,
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> A:= [mm]\IR[/mm] x~y: l x - y l < [mm]\bruch{1}{100}[/mm]
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> Reflexivität ist klar ,denn x - x ist 0 < [mm]\bruch{1}{100}[/mm]
>
>
> symetrie
>
> Bedingung : [mm]\exists[/mm] x,y [mm]\in \IR[/mm] : x~y ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm]\Rightarrow[/mm] y~x
>
> Negatiion : [mm]\exists[/mm] x,y [mm]\in \IR[/mm] : x~y [mm]\not\Rightarrow[/mm]
[mm] $\sim$ [/mm] symmetrisch auf einer Menge M, falls [mm] $\red{\forall} x,y\in [/mm] M : [mm] x\sim y\Rightarrow y\sim [/mm] x$
Die Verneinung: [mm] $\sim$ [/mm] nicht symmetrisch auf M, falls [mm] $\exists x,y\in [/mm] M : [mm] x\sim [/mm] y \ [mm] \red{\wedge} [/mm] \ [mm] y\nsim [/mm] x$
Eine Implikation [mm] $p\Rightarrow [/mm] q$ wird ja so verneint: [mm] $\neg(p\Rightarrow q)\equiv [/mm] p \ [mm] \wedge \neg [/mm] q$
> y~x
>
> setze für x : [mm]\bruch{1}{100}[/mm]
> setze für y : 1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] l 1 - [mm]\bruch{1}{100}[/mm] l < [mm]\bruch{1}{100}[/mm]
> falsch
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] nicht symetrisch
>
> richtig ?
>
> Danke
>
Hier ist's symmetrisch, für beliebige [mm] $x,y\in\IR$ [/mm] mit [mm] $|x-y|<\frac{1}{100}$ [/mm] ist zu zeigen, dass auch [mm] $|y-x|<\frac{1}{100}$ [/mm] ist
Die Voraussetzung hier ist also: du hast 2 beliebige [mm] $x,y\in\IR$, [/mm] für die gilt [mm] $|x-y|<\frac{1}{100}$
[/mm]
Daraus musst du nun basteln, dass dann auch [mm] $|y-x|<\frac{1}{100}$ [/mm] ist
Also aus der Voraussetzung [mm] $\red{|x-y|}<\blue{\frac{1}{100}}$ [/mm] folgt
[mm] $\red{|x-y|}=|(-1)(y-x)|=|(-1)|\cdot{}|y-x|=|y-x|<\blue{\frac{1}{100}}$
[/mm]
Du musst genau aufpassen, was Voraussetzung ist und was zu zeigen ist und darfst das nicht vermischen!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 So 20.04.2008 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
könnte ich einen Tip bekommen wie ich bei der transität mit de Betragszeichen umgehe ?
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> Hallo ,
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> könnte ich einen Tip bekommen wie ich bei der transität mit
> de Betragszeichen umgehe ?
Hallo,
diese Frage ist nicht sehr präzise gestellt.
Ich würde hierauf antworten: den Regeln entsprechend...
Vielleicht sagst Du mal, was Du gerade zeigen möchtest, und erklärst, wo Dein Problem liegt.
Bist Du Dir denn überhaupt sicher, daß man bei Deiner Relation Transitivität zeigen kann.
Weißt Du, daß der Betrag der Abstand zwischen zwei Zahlen ist?
Gruß v. Angela
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
