Äquivalenzrelation < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei W ein Unterraum des K-Vektorraums V.
a) Zeigen Sie,dass die durch u [mm] \sim [/mm] v : [mm] \gdw [/mm] v-u [mm] \in [/mm] W definierte Relation auf V eine Äquivalenzrelation ist.
b) Zeigen Sie,dass gilt:
(v´ [mm] \sim [/mm] v [mm] \wedge [/mm] u´ [mm] \sim [/mm] u) [mm] \Rightarrow [/mm] u´+v´ [mm] \sim [/mm] u+v
u´ [mm] \sim [/mm] u [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] * u´ [mm] \sim \lambda [/mm] * u |
Also bei der a) soll ich ja zeigen,dass es eine Äquivalenzklasse ist,d.h. ich muss die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zeigen. Aber wie mache ich das?
u [mm] \sim [/mm] u [mm] \Rightarrow [/mm] u-u [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in [/mm] W
Habe ich damit schon die Reflexivität gezeigt? Und wie mache ich das bei der Symmetrie und der Transitivität?
Und bei b) habe ich gar keine Ahnung...kann mir jemand einen Ansatz geben?
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> Sei W ein Unterraum des K-Vektorraums V.
> a) Zeigen Sie,dass die durch u [mm]\sim[/mm] v : [mm]\gdw[/mm] v-u [mm]\in[/mm] W
> definierte Relation auf V eine Äquivalenzrelation ist.
> b) Zeigen Sie,dass gilt:
> (v´ [mm]\sim[/mm] v [mm]\wedge[/mm] u´ [mm]\sim[/mm] u) [mm]\Rightarrow[/mm] u´+v´ [mm]\sim[/mm] u+v
> u´ [mm]\sim[/mm] u [mm]\Rightarrow \lambda[/mm] * u´ [mm]\sim \lambda[/mm] * u
> Also bei der a) soll ich ja zeigen,dass es eine
> Äquivalenzklasse ist,
Hallo,
nein. Eine Äquibalenzrelation.
> d.h. ich muss die Reflexivität,
> Symmetrie und Transitivität zeigen. Aber wie mache ich das?
> u [mm]\sim[/mm] u [mm]\Rightarrow[/mm] u-u [mm]\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] 0 [mm]\in[/mm] W
> Habe ich damit schon die Reflexivität gezeigt?
Ja.
Aufschreiben würde ich es so:
Sei [mm] u\in [/mm] V.
Es ist [mm] u-u=0\in [/mm] W (denn?)
==> [mm] u\sim [/mm] u.
> mache ich das bei der Symmetrie
Bei der Symmetrie setzt Du voraus, daß a,b in Relation stehen, also [mm] a\sim [/mm] b. Dann rechnet Du vor, daß unter diesen Umständen auch [mm] b\sim [/mm] a richtig ist.
Also:
Seien a,b [mm] \in [/mm] V mit [mm] a\sim [/mm] b ==> .... ==> .... ==>...
> und der Transitivität?
So ähnlich. Wenn Du die Symmetrie kannst, dürfte das kein Problem sein.
> Und bei b) habe ich gar keine Ahnung...kann mir jemand
> einen Ansatz geben?
Es beginnt damit, sich die Aussage klarzumachen:
> b) Zeigen Sie,dass gilt:
> (v´ $ [mm] \sim [/mm] $ v $ [mm] \wedge [/mm] $ u´ $ [mm] \sim [/mm] $ u) $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ u´+v´ $ [mm] \sim [/mm] $ u+v
Voraussetzung: v´ $ [mm] \sim [/mm] $ v $ und $ u´ $ [mm] \sim [/mm] $ u,
d.h. ...
Zu zeigen: $ u´+v´ $ [mm] \sim [/mm] $ u+v,
d.h. .... (hier mußt Du Dir klarmachen, woran Du erkennen kannst, daß sie in relation stehen.)
Gruß v. Angela
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