Äquivalenzrelation < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Lisa-19 |
| Aufgabe | Sei die Menge M={1,2,3,4,5} gegeben und a,b [mm] \in [/mm] M mit
aRb : <--> a-b ist durch 2 teilbar in Z
Zeigen Sie, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
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1) reflexiv
aRb: <--> a-b ist durch 2 teilbar in Z
--> a-a ist durch 2 teilbar in Z
also: 1-1=0 0:2=0
2-2=0 0:2=0
3-3=0 0:2=0
4-4=0 0:2=0
5-5=0 0:2=0
Beweis: zzg. a-a =2k
1.Fall a ist gerade
--> [mm] \exists [/mm] m [mm] \in [/mm] Z: a=2m
--> a-a=2m-2m
= 2(m-m) (m-m) :=K [mm] \in [/mm] Z
=2k
2.Fall a ist ungerade
--> [mm] \exists [/mm] m [mm] \in [/mm] Z:a=2m+1
--> a-a= 2m+1-2m+1
= 2(m-m +1) (m-m+1):=k [mm] \in [/mm] Z
=2k
also, reflexiv
Frage: Kann ich den Beweis so machen?
2)symmetrisch
a-b ist durch 2 teilbar in Z
b-a ist durch 2 teilbar in Z
zB 4-1 = 3 ist nicht in Z durch 2 teilbar
1-4 = -3 ist nicht in Z durch 2 teilbar
also ist es gar nicht symmetrisch?
3) transitiv
zB 5-4=1 nicht durch 2 teilbar in Z
4-2=2 ist durch 2 teilbar in Z
5-2 = 3 ist nicht durch 2 teilbar in Z
also auch nicht transitiv?
Dann wäre die Relation auch keine Äquivalenzrelation?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Fr 05.12.2008 | | Autor: | statler |
Hallo, habe ich dich hier schon begrüßt?
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei die Menge M={1,2,3,4,5} gegeben und a,b [mm]\in[/mm] M mit
> aRb : <--> a-b ist durch 2 teilbar in Z
> Zeigen Sie, dass es sich um eine Äquivalenzrelation
> handelt.
>
> 1) reflexiv
> aRb: <--> a-b ist durch 2 teilbar in Z
> --> a-a ist durch 2 teilbar in Z
> also: 1-1=0 0:2=0
> 2-2=0 0:2=0
> 3-3=0 0:2=0
> 4-4=0 0:2=0
> 5-5=0 0:2=0
>
> Beweis: zzg. a-a =2k
> 1.Fall a ist gerade
> --> [mm]\exists[/mm] m [mm]\in[/mm] Z: a=2m
> --> a-a=2m-2m
> = 2(m-m) (m-m) :=K [mm]\in[/mm] Z
> =2k
>
> 2.Fall a ist ungerade
> --> [mm]\exists[/mm] m [mm]\in[/mm] Z:a=2m+1
> --> a-a= 2m+1-2m+1
> = 2(m-m +1) (m-m+1):=k [mm]\in[/mm] Z
> =2k
> also, reflexiv
> Frage: Kann ich den Beweis so machen?
Du brauchst hier weder Beispiele noch Fallunterscheidungen. Beispiele brauchst du überhaupt nur auf deinem Schmierzettel, um dir einen Überblick über das Thema zu verschaffen, in einem Beweis sind sie vom logischen Standpunkt überflüssig. Und die Fallunterscheidungen sind überflüssig, weil a - a immer = 0 = 2$*$0 ist. Im 2. Fall hast du dich vertan.
> 2)symmetrisch
> a-b ist durch 2 teilbar in Z
> b-a ist durch 2 teilbar in Z
> zB 4-1 = 3 ist nicht in Z durch 2 teilbar
> 1-4 = -3 ist nicht in Z durch 2 teilbar
>
> also ist es gar nicht symmetrisch?
Klar ist es symmetrisch. Noch mal: Du mußt eine 'wenn-dann'-Aussage prüfen. Dazu genügt der Fall, daß die Voraussetzung wahr ist.
> 3) transitiv
> zB 5-4=1 nicht durch 2 teilbar in Z
> 4-2=2 ist durch 2 teilbar in Z
> 5-2 = 3 ist nicht durch 2 teilbar in Z
> also auch nicht transitiv?
> Dann wäre die Relation auch keine Äquivalenzrelation?
Doch, das ist sie; genau wie oben geht es um 'wenn-dann'. Das zu verstehen fällt vielen offenbar schwer.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Lisa-19 |
Hallo :)
also brauche ich bei reflexiv nur schreiben:
a-a =0
= 2 [mm] \cdot [/mm] 0
bei symmetrisch:
Wenn a-b durch 2 teilbar ist, dann ist auch b-a durch zwei teilbar.
a-b ist durch zwei teilbar <--> a-b =2k
--> wegen assoziativgesetz b-a =2k
bei transitiv:
Wenn a-b und b-c durch zwei teilbar sind, dann ist auch a-c durch 2 teilbar.
a-b=2k, wenn a und b ungerade oder a und b gerade. Nehmen wir an a und b gerade --> c gerade, denn b-c=2k --> a-c durch 2 teilbar, denn a und c sind beides gerade Zahlen.
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Fr 05.12.2008 | | Autor: | statler |
Hey!
> also brauche ich bei reflexiv nur schreiben:
> a-a =0
> = 2 [mm]\cdot[/mm] 0
Naja, gerade als Anfänger sollte man auch die Zwischenschritte so notieren, daß der geneigte Leser erkennt: Die hat es verstanden.
> bei symmetrisch:
> Wenn a-b durch 2 teilbar ist, dann ist auch b-a durch zwei
> teilbar.
>
> a-b ist durch zwei teilbar <--> a-b =2k
> --> wegen
> assoziativgesetz b-a =2k
Das ist doch Doppelmurks! Das Assoziativgesetz spielt hier keine Rolle, und b-a ist dann -2k.
> bei transitiv:
> Wenn a-b und b-c durch zwei teilbar sind, dann ist auch
> a-c durch 2 teilbar.
Ja, warum ist das so? Dann ist nämlich a-b = 2s und b-c = 2r. Aber a-c = (a-b)+(b-c) = 2s + 2r = ???
> a-b=2k, wenn a und b ungerade oder a und b gerade. Nehmen
> wir an a und b gerade --> c gerade, denn b-c=2k --> a-c
> durch 2 teilbar, denn a und c sind beides gerade Zahlen.
Was willst du immer mit deinen Fallunterscheidungen? Du brauchst sie nicht!
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Lisa-19 |
Okay, ich versuchs nochmal, dann geb ich auf...
> > also brauche ich bei reflexiv nur schreiben:
> > a-a =0
> > = 2 [mm]\cdot[/mm] 0
>
> Naja, gerade als Anfänger sollte man auch die
> Zwischenschritte so notieren, daß der geneigte Leser
> erkennt: Die hat es verstanden.
Ich weiß leider nicht, was da noch die Zwischenschritte sind.
> > bei symmetrisch:
> > Wenn a-b durch 2 teilbar ist, dann ist auch b-a durch
> zwei
> > teilbar.
> >
> > a-b ist durch zwei teilbar <--> a-b =2k
> > --> wegen
> > assoziativgesetz b-a =2k
>
> Das ist doch Doppelmurks! Das Assoziativgesetz spielt hier
> keine Rolle, und b-a ist dann -2k.
also dann vielleicht:
a-b=2k
a=2k+b
0=2k+b-a
-2k=b-a
> > bei transitiv:
> > Wenn a-b und b-c durch zwei teilbar sind, dann ist auch
> > a-c durch 2 teilbar.
>
> Ja, warum ist das so? Dann ist nämlich a-b = 2s und b-c =
> 2r. Aber a-c = (a-b)+(b-c) = 2s + 2r = ???
2s+2r = 2(r+s) (r+s):= k [mm] \in [/mm] Z
= 2k
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Fr 05.12.2008 | | Autor: | statler |
Jetzt die Schlußredaktion!
> Okay, ich versuchs nochmal, dann geb ich auf...
>
> > > also brauche ich bei reflexiv nur schreiben:
> > > a-a =0
> > > = 2 [mm]\cdot[/mm] 0
> >
> > Naja, gerade als Anfänger sollte man auch die
> > Zwischenschritte so notieren, daß der geneigte Leser
> > erkennt: Die hat es verstanden.
>
> Ich weiß leider nicht, was da noch die Zwischenschritte
> sind.
Beh.: R ist reflexiv.
Bew.: R ist nach Def. genau dann reflexiv, wenn für alle ganzen Zahlen a das Paar (a,a) in R liegt. Aber (a,a) liegt genau dann in R, wenn a-a durch 2 teilbar ist. Nun ist gottseidank a-a = 0 = 2$*$0, also in der Tat durch 2 teilbar. Also ist A reflexiv. q.e.d.
Jetzt könntest du noch diesen Text in die Formelsprache der Mathematik transskribieren, das stellle ich dir anheim.
> > > bei symmetrisch:
> > > Wenn a-b durch 2 teilbar ist, dann ist auch b-a
> durch
> > zwei
> > > teilbar.
> > >
> > > a-b ist durch zwei teilbar <--> a-b =2k
> > > --> wegen
> > > assoziativgesetz b-a =2k
> >
> > Das ist doch Doppelmurks! Das Assoziativgesetz spielt hier
> > keine Rolle, und b-a ist dann -2k.
>
> also dann vielleicht:
> a-b=2k
> a=2k+b
> 0=2k+b-a
> -2k=b-a
Beh.: R ist symmetrisch.
Bew.: Dazu ist zu zeigen, daß das Paar (b,a) mit ganzen Zahlen a und b in R liegt, wenn nur das Paar (a,b) in R liegt. Aber wenn (a,b) in R liegt, dann ist nach Def. von R a-b = 2k für eine ganze Zahl k. Dann ist b-a = -2k = 2(-k) ebenfalls durch 2 teilbar, daher (b,a) wirklich in R. q.e.d.
> > > bei transitiv:
> > > Wenn a-b und b-c durch zwei teilbar sind, dann ist
> auch
> > > a-c durch 2 teilbar.
> >
> > Ja, warum ist das so? Dann ist nämlich a-b = 2s und b-c =
> > 2r. Aber a-c = (a-b)+(b-c) = 2s + 2r = ???
>
> 2s+2r = 2(r+s) (r+s):= k [mm]\in[/mm] Z
> = 2k
Es muß (r+s) =: k heißen. Kriegst du das nach den obigen Mustern jetzt alleine auf die Reihe? Es ist mehr Deutsch als Mathe.
Gruß und Feierabend
Dieter
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