Äquivalenzrelation? < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf der Menge N der natürlichen Zahlen (ohne die Null) sei die folgende Relation definiert:
R = { (x, [mm] y)\in\ [/mm] N * N | x*y ist Quadratzahl }
Ist R eine Äquivalenzrelation? |
Hallo, ist die folgende Überlegung richtig?
1)Die Relation ist Reflexiv weil die Vorraussetzung für Reflexivität x<=x gilt und wen [mm] x*x=z^2 [/mm] ist dann muss ja x=x sein(eine quadratzahl muss auf jeden Fall ein element von sich selbst enthalten), oder ist das komplet falsch und man sollte das anders beweisen?
2)Symmetrisch ist die Funktion weil [mm] (x*y=z^2 [/mm] und [mm] y*x=z^2 [/mm] ) ist also Aus (x, y) ∈ R folgt, dass auch (y, x) ∈ R gilt..
3) Transitiv sind die Relationen "≤" in einer Menge reeller Zahlen, denn aus x ≤ y und y ≤ z folgt x ≤ z; aber wie ich die Aufgabe auf transivität überprüfe weiss ich nicht?
danke im vorraus
gruß Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Do 03.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst zeigen: aus [mm] x*y=m^2 [/mm] und [mm] y*z=n^2 [/mm] folgt [mm] x*z=k^2
[/mm]
am besten du unterteilst: a, x,y,z selbst Quadratzahlen dann ist es trivial.
sonst musst du dir überlegen warum am besten erstmal an nem Beispiel, dann allgemein:
72*2 ist QZ 2*18 ist Qz ; 75*3 und 3*48 usw.
Gruss leduart
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danke für die Antwort. Ist das Vorgehen richtig:?
[mm] x*y=m^2
[/mm]
[mm] y*z=n^2
[/mm]
[mm] x*z=k^2
[/mm]
[mm] x*y*y*z=m^2*n^2 [/mm] daraus folgt
[mm] x*z=\bruch{m^2*n^2}{y^2} [/mm] daraus folgt
[mm] k^2=\bruch{m^2*n^2}{y^2}
[/mm]
ist damit die transivität bewiesen, oder muss ich das anders aufschreiben?
Gruß Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Do 03.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
woher weiss man dass $ [mm] k^2=\bruch{m^2\cdot{}n^2}{y^2} [/mm] $ ne ganze zahl ist? das hast du nicht gezeigt.
Gruss leduart
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Ok, also wenn [mm] x*z=\bruch{m^2\cdot{}n^2}{y^2} [/mm] >=0 ist dann muss [mm] k^2 [/mm] auch >=0 sein und somit eine Natürliche Zahl ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Do 03.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da x*z ganz ist, ist das ne ganze Zahl, ich hatte das falsch geschrieben. Aber es soll ja ne Quadratzahl sein also muss m*n/y ne ganze Zahl sein.
Gruss leduart
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| Aufgabe | Aufgabe
Auf der Menge N der natürlichen Zahlen (ohne die Null) sei die folgende Relation definiert:
R = { (x, [mm] y)\in\ [/mm] N * N | x*y ist Quadratzahl }
Ist R eine Äquivalenzrelation?
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Ok danke, also ist es bewiesen, dass die Relation transitiv ist, sind auch folgende Überlegungen von mir als Beweis ausreichend?
1)Die Relation ist Reflexiv weil die Vorraussetzung für Reflexivität x<=x gilt und wen $ [mm] x\cdot{}x=z^2 [/mm] $ ist dann muss ja x=x sein(eine quadratzahl muss auf jeden Fall ein element von sich selbst enthalten), oder ist das komplet falsch und man sollte das anders beweisen?
2)Symmetrisch ist die Funktion weil $ [mm] (x\cdot{}y=z^2 [/mm] $ und $ [mm] y\cdot{}x=z^2 [/mm] $ ) ist also Aus (x, y) ∈ R folgt, dass auch (y, x) ∈ R gilt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 05.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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