Äquivalenzrelation < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Mi 21.04.2010 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | | Zwei geordnete Basen B,B' eines [mm] \IR-Vektorraums [/mm] V heißen gleich orientiert, wenn [mm] detM_{BB'}>0 [/mm] für die Basiswechselmatrix [mm] M_{BB'} [/mm] gilt. Man zeige,dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist und dass es dazu genau zwei Äquivalenzklassen gibt. |
hallöchen,
ich habe mich jetzt intensiv in Büchern und im Netz mit dem thema äquivalenzrelation beschäftigt,habe aber trotzdem noch so meine Probleme damit.
ich weiß, dass ich für den ersten teil zeigen muss, dass die relation reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, mein problem ist nur, dass ich gar nicht erst verstehe was genau jetzt meine Relation ~ sein soll.
ich habe das jetzt so interpretiert, dass ich ja irgendwie zeigen muss, dass gilt:
B,B' gleich orientiert [mm] \gdw detM_{BB'}>0 [/mm] ist eine Äquivalenzrelation.
weiß aber absolut nicht wie...also ist mein ansatz wahrscheinich falsch... :<
Wäre sehr dankbar für einen denkanstoß
LG
|
|
| |
|
Hallo simplify,
ganz allgemein ist eine Relation ein Tupel (M,N,R) wobei M und N Mengen sind (im allgemeinen auch sehr abstrakt) und $R [mm] \subseteq [/mm] M [mm] \times [/mm] N $ eine Teilmenge von $ M [mm] \times [/mm] N $ und man sagt ein $a [mm] \in [/mm] M $ steht zu einem $ b [mm] \in [/mm] N $ in Relation, wenn $ (a,b) [mm] \in [/mm] R $.
Ich mach mal den Anfang:
Um zu seigen: $a [mm] \sim [/mm] a $ musst du zeigen, dass die Transformationsmatrix positive Determinante hat. Da in diesem Fall aber I (also die Identität) die Transforationsmatrix ist, ist das irgendwie offensichtlich.
Jetzt musst du nur noch die andren beiden Bedingungen überprüfen.
lg Kai
|
|
|
| |
|
ahhh,vielen dank, glaube ich habs jetzt hinbekommen, aber der zweite teil (äquivalenzklassen)ist mir unklar.hab ein bisschen geforscht und hab so ne kleine vorstellung davon, was positiv und negativ orientiert im [mm] \IR^{2} [/mm] bedeuten, kann mir jedoch allgemein nichts darunter vorstellen.
ich habe auch schon einen beweis gefunden, den ich aber nicht verstehe.
er lautet ungefähr wie folgt:
sei b eine feste basis, c,d seien auch basen.
gilt:c nicht [mm] \sim [/mm] b und d nicht [mm] \sim [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] c [mm] \sim [/mm] d ,deshalb gibt es höchstens zwei äquivalenzklassen.
und weiter ist det eine surjektive abbildung und [mm] GL_{n}^{+} [/mm] (lineare gruppe der invertierbaren matrizen aus V mit pos [mm] det)\subseteq GL_{n}.
[/mm]
deshalb gibt es genau zwei.
waaaas, besonders der zweite teil bereitet mir probleme. wäre toll wenn du mir nochmal auf sprünge helfen könntest...
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Sa 24.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
