Äquivalenzrelation und Klasse < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Do 04.01.2007 | | Autor: | Krebs |
Halli hallo!
Ich sitze gerade vor meinem Skript und bin für eine Prüfung am Lernen. Thema: Äquivalenzrelationen +~klassen.
Ich habe Probleme beim ermitteln von Äquivalenzklassen. Ich weiß, dass diese immer disjunkt sind, aber das hilft mir auch nicht wirklich weiter.
wie ermittel ich z.B. die Äquivalenzklassen von folgender Relation:
xRy [mm] \gdw [/mm] x*y > 0 oder [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] = 0
[mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in \IR
[/mm]
ich komm hier nicht wirklich weiter und hoffe, dass mir jmd. bei der Vorgehensweise helfen kann?!
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:27 Sa 06.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> xRy [mm]\gdw[/mm] x*y > 0 oder [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] = 0
>
> [mm]\forall[/mm] x, y [mm]\in \IR[/mm]
ersteres hab ich HIER schonmal ausführlich beantwortet...
(beachte aber, dass die 0 nicht im Grundbereich sein darf, denn sonst ist ja reflexivität nicht gegeben, denn 0R0 gilt ja nicht !)
aber die zweite Relation ist keine Äquivalenzrelation wegen fehlender Reflexivität (außer wenn der Grundbereich genau nur die Zahl 0 ist)
wenn du weitere Fragen hast, kannst du dies natürlich gerne machen..
viele grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Do 11.01.2007 | | Autor: | Krebs |
Hey!
Vielen lieben Dank! OK das ist einleuchtend, aber leider bin ich noch nicht wirklich schlauer in Bezug auf Klassenermittlung.
Habe noch ein Bsp. gefunden:
x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] 5|x-y sei eine Äquivalenzrelation
wie geht man jetzt Schrittweise vor um die Äqui.klassen zu ermitteln?
LG Krebs
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Do 11.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
wie ich auch schon im anderem Thread geschrieben habe:
Jede Aequivalenzrelation erzeugt eine Partition der Grundmenge (naemlich gerade die Aequivalenzklassen) und es gilt auch die Umkehrung : Jede Partition der Grundmenge entspricht einer Aquivalenzrelation.
naemlich : zwei Elemente stehen immer genau dann in Relation, wenn sie in der selben Klasse sind...
du musst dir also ueberlegen, mit welchen Elementen ein bestimmtes x' in Relation steht - all diese bilden zusammen die klasse [x']
(letzteres ist nur eine schreibweise fuer die menge der elemente der grundmenge, die zu x' in Relation stehen (aber man kann beweisen, dass die klasse nicht von der wahl von x' abhaengt, dies ist also ein willkuerlicher repraesentant der klasse))
also mal zu deinem beispiel:
>
> x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] 5|x-y sei eine Äquivalenzrelation
>
also ich gehe mal ganz stark davon aus, dass die Grundmenge [mm] $\IZ$ [/mm] ist, richtig ?!?
so, schauen wir uns doch mal fuer jedes Element der Grundmenge an, in welcher Klasse es liegt (es muss ja wegen reflexivitaet in einer klasse sein), wenn wir dies fuer alle elemente aus [mm] $\IZ$ [/mm] gemacht haben, dann kennen wir alle Klassen...
also fangen wir einfach naiv an :
in welche Klasse liegt die 0 ?
oder anders gefragt : welche Elemente aus [mm] $\IZ$ [/mm] liegen noch in derselben klasse (stehen also mit 0 in relation) ?!?
nun ja: es sind gerade diejenigen Elemente, die einen abstand von 0 haben, der durch 5 teilbar ist, also alle Zahlen : [mm] $\{ 0+5z | z\in\IZ \}=:[0]$
[/mm]
so haben wir also schon unsere erste Klasse gefunden und sie enthaelt schon ziemlich viele Elemente !
schauen wir uns das naechste Element aus [mm] $\IZ$ [/mm] an, das NICHT schon in einer betrachteten Klasse liegt, also beispielsweise die 1
welche anderen Elemente stehen noch mit 1 in Relation ?!?
na gerade : [mm] $\{ 1+5z | z\in\IZ \}=:[1]$
[/mm]
(nochmal deutlicher : [mm] $[1]=\{\ldots -9,-4,1,6,11,\ldots \}$ [/mm]
und es ist auch [1]=[6]=[11] usw...)
so, das spiel laeuft jetzt noch analog fuer [2], [3] und [4] und dann ist man fertig, denn dann hat man gezeigt, dass jedes Element in [mm] $\IZ$ [/mm] schon in einer Klasse liegt, die man betrachtet hat.
(denn jedes Element hat beim Teilen durch 5 einen Rest, der zw 0 und 4 liegt..)
ich hoffe du hast einen eindruck davon bekommen, was zu tun ist - du musst halt wirklich untersuchen in welche partition die grundmenge zerfaellt...
viele Gruesse
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:12 Mi 17.01.2007 | | Autor: | Krebs |
Hey!
Vielen lieben Dank für deine sehr ausführliche Antwort. Ich denke, dass bringt mich schon mal ein ganzes Stück weiter.
Schön, dass es so hilfsbereite Leute gibt 
liebe Grüße
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