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| Aufgabe | Auf [mm] \IR^{3} [/mm] ist die folgende Relation definiert
vRw [mm] \gdw [/mm] v - w = [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] für eine reelle Zahl [mm] \lambda
[/mm]
Zeigen Sie:
1. Die Relation ist reflexiv.
2. Die Relation ist symmetrisch.
3. Die Relation ist transitiv. |
Hallo!
Ich klemme gerade an den Äquivalenzrelationen fest.
Mir ist nicht ersichtlich, wie ich zeigen soll, dass die o.g. Relation reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist.
Das Problem ist, dass mir die Lösungen von anderen Aufgaben so abstrakt erscheinen, dass ich nicht nachvollziehen kann, wie die Lösungen entstehen.
Ich habe diese Aufgabe gewählt, da sie für mich völlig unverständlich ist.
Soweit bin ich jedoch bereits gekommen:
vRw genau dann, wenn v - w = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] für ein [mm] \lambda \in \IR.
[/mm]
Wenn ich jetzt für [mm] \lambda [/mm] die reelle Zahl "2" einsetze, dann habe ich den Vektor [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] und dieser soll mit v-w gleich sein. Wenn ich jetzt annehme, dass in der Menge v das Element [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 3} [/mm] ist, und in der Menge w [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ist, dann würde die Gleichung stimmen - oder nicht?
Das Problem ist natürlich, dass dies nichts mit der Aufgabenstellung zu tun hat, nämlich die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zu zeigen.
Das Ganze verwirrt mich etwas, weil ich nicht genau weiß, worum es eigentlich geht und wie man dies aufschreibt.
Eine Relation ist ja bekanntlich reflexiv, wenn für alle v aus der Menge [mm] \IR^3 [/mm] gilt, dass vRv ist. Was mir das genau sagen soll, kann ich nicht sagen. Intuitiv würde ich sagen, dass dies natürlich zutrifft, da v natürlich im [mm] \IR^3 [/mm] liegt.
Gibt es eine Vorgehensweise, wie man diese Typen von Aufgaben löst?
Kann man eine solche Aufgabe nicht praktisch mit Beispielmengen auf dem Papier veranschaulichen und daraus einen Schluss ziehen?
Wie man sieht mache ich mir enorme Gedanken, wie man diese Art von Aufgaben lösen kann. Ich hoffe, ich bin nicht total auf dem Holzweg!
Danke für eure Hilfe,
Klaus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Do 27.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Schreiben wir erstmal auf, was zu zeigen ist:
1. zu zeigen ist vRv für alle v [mm] \in \IR^3
[/mm]
2. zu zeigen ist: aus vRW folgt wRv
3. zu zeigen ist: aus vRw und wRu folgt vRu.
Zu 1. ist v [mm] \in \IR^3, [/mm] gibt es dann ein [mm] \lambda [/mm] mit $v - v = [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $ ?
Zu 2. wenn wir v - w = $ [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $ mit einem [mm] \lambda \in \IR [/mm] haben, gibt es dann auch ein [mm] \mu \in \IR [/mm] mit
w - v = $ [mm] \mu \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $ ?
Zu 3.
wenn wir v - w = $ [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $ und w - u= $ [mm] \mu \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $ mit [mm] \lambda, \mu \in \IR [/mm] haben, gibt es dann auch ein [mm] \xi \in \IR [/mm] mit
$v-u= [mm] \xi \vektor{1 \\ 1 \\ 1}$ [/mm] ?
Wenn Du alle 3 Fragen mit ja beantworten kannst und Deine Antworten begründest, hast Du die Aufgabe gelöst.
FRED
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Hallo FRED!
Danke für Deine sehr verständliche und ausführliche Antwort! An dieser Stelle kann ich mich auch direkt für andere von Deinen Antworten hier im Forum bedanken, die mir auch schon weiter geholfen haben!
Ich konnte mit Deiner Hilfe alle drei Fragen mit einem "Ja" beantworten - hoffentlich sogar richtig.
Kann man dies so als Lösungsweg ansehen?
Die Relation ist reflexiv, da:
[mm] v-v=0*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
also beispielsweise sei v = [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 3}, [/mm] dann muss ein [mm] \lambda [/mm] immer "0" sein.
Symmetrisch, da:
v - w = [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] für ein [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
[mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 3} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] 2*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
beziehungsweise
w - v = [mm] \mu \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] für ein [mm] \mu \in \IR
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 3} [/mm] = [mm] -2*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
und natürlich transitiv, da:
v - w = [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] für ein [mm] \lambda \in \IR [/mm] und w - u = [mm] \mu \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] für ein [mm] \mu \in \IR [/mm] vorhanden ist, auch ein [mm] \varepsilon [/mm] für v - u = [mm] \varepsilon \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] existiert.
v - u = [mm] \varepsilon \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]
[mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 3} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] 3*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Stimmt das so?
Danke dir,
Klaus!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Do 27.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo klaus_5000 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Die Relation ist reflexiv, da:
> [mm]v-v=0*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau, für jedes [mm] $v\in [/mm] V$ gilt
[mm] $v-v=\vektor{0\\0\\0}=0*\vektor{1\\1\\1}$
[/mm]
und somit $vRv$. Also ist $R$ reflexiv.
> also beispielsweise sei v =
> [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 3},[/mm] dann muss ein [mm]\lambda[/mm] immer "0"
> sein.
Das taugt für einen "Schmierzettel". Es trägt nichts zur fertigen Lösung bei.
> Symmetrisch, da:
Gelte
> v - w = [mm]\lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] für ein [mm]\lambda \in \IR[/mm]
für beliebig vorgegebene [mm] $v,w\in\IR^3$.
[/mm]
Gesucht ist ein [mm] $\mu\in\IR$ [/mm] mit
[mm] $w-v=\mu\vektor{1\\1\\1}$.
[/mm]
Ein solches [mm] $\mu$ [/mm] hast du offenbar noch nicht gefunden.
> [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 3}[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] = [mm]2*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> beziehungsweise
> w - v = [mm]\mu \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] für ein [mm]\mu \in \IR[/mm]
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] - [mm]\vektor{3 \\ 3 \\ 3}[/mm] = [mm]-2*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Dieses Beispiel gehört wieder auf einen Schmierzettel und nicht zur fertigen Lösung.
Du musst ja für ALLE $v,w$ mit $vRw$ zeigen, dass auch $wRv$ gilt, nicht nur für die von dir gewählten Beispiele von v und w.
Dennoch kann das Beispiel bei der Suche nach [mm] $\mu$ [/mm] weiterhelfen:
Im Beispiel wurde $vRw$ von [mm] $\lambda=2$ [/mm] bezeugt und $wRv$ von [mm] $\mu=-2$.
[/mm]
Vielleicht hast du eine Vermutung, wie man den gesuchten Zeugen [mm] $\mu$ [/mm] allgemein (in Abhängigkeit von dem [mm] $\lambda$, [/mm] das $vRw$ bezeugt) wählen kann?
Wenn ja: Beweise deine Vermutung!
> und natürlich transitiv, da:
> v - w = [mm]\lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] für ein [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> und w - u = [mm]\mu \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] für ein [mm]\mu \in \IR[/mm]
> vorhanden ist, auch ein [mm]\varepsilon[/mm] für v - u =
> [mm]\varepsilon \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] existiert.
Genau das ist zu zeigen. Finde dazu (in Abhängigkeit von [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$) [/mm] ein passendes [mm] $\varepsilon$.
[/mm]
Tipp: Es gilt
[mm] $v-u=(v-w)+(w-u)=\ldots$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Hallo Tobias und Danke für deine Antwort, bzw. deine Begrüßung!
Nachdem ich mir einige Minuten den Kopf zerbrochen habe, glaube ich, dass ich langsam verstehe, worauf du hinaus willst.
Ich habe festgestellt, dass bei der Symmetrie offensichtlich [mm] \lambda [/mm] zu [mm] (-1)*\lambda [/mm] wird.
Ich verstehe auch, dass meine Lösung tatsächlich eine Schmierzettellösung ist.
Die Lösung sollte im besten Fall natürlich verallgemeinert sein.
Also rein von der Überlegung her, ich formuliere einfach mal:
Da [mm] \nu [/mm] - [mm] \omega [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ist, so ist [mm] \omega [/mm] - [mm] \nu [/mm] = [mm] (-1)\lambda* \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Heißt das so viel wie:
[mm] \nu [/mm] - [mm] \omega [/mm] = [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \Rightarrow \omega [/mm] - [mm] \nu [/mm] = [mm] (-1)*\lambda\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]
oder darf ich die Gleichung mit [mm] \lambda [/mm] nicht verändern?
Ansonsten hätte ich das noch im Angebot:
[mm] \nu [/mm] - [mm] \omega [/mm] = [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \Rightarrow \nu [/mm] - [mm] \omega [/mm] = [mm] -(\omega [/mm] - [mm] \nu) [/mm] = [mm] \lambda\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]
Dadurch, dass ich sage, dass [mm] -(\omega [/mm] - [mm] \nu) [/mm] also immer automatisch wieder [mm] \lambda\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] ist, müsste das doch als Symmetriebeweis reichen, oder?
Schließlich ist [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] 1\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und ist das gleiche wie [mm] -(\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2}) [/mm] = [mm] 1\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Bevor ich mich an die Transitivität wage, möchte ich gerade erst mal abwarten.
Aber auch da habe ich schon eine leichte Vermutung.
Gibt es eigentlich ausschließlich eine gültige Lösung, oder mehrere bei solchen Beweisen?
Danke für eure Hilfe!
Klaus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Do 27.02.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Ich habe festgestellt, dass bei der Symmetrie
> offensichtlich [mm]\lambda[/mm] zu [mm](-1)*\lambda[/mm] wird.
Du meinst vermutlich das Richtige: [mm] $\mu:=(-1)*\lambda$ [/mm] bezeugt $wRv$.
> Da [mm]\nu[/mm] - [mm]\omega[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] ist, so
> ist [mm]\omega[/mm] - [mm]\nu[/mm] = [mm](-1)\lambda* \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Es gilt in der Tat
[mm] $\omega-\nu=(-1)(\nu-\omega)=(-1)(\lambda\cdot\vektor{1\\1\\1})=((-1)\lambda)\vektor{1\\1\\1}$.
[/mm]
> Heißt das so viel wie:
>
> [mm]\nu[/mm] - [mm]\omega[/mm] = [mm]\lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \Rightarrow \omega[/mm]
> - [mm]\nu[/mm] = [mm](-1)*\lambda\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Ja.
> Ansonsten hätte ich das noch im Angebot:
> [mm]\nu[/mm] - [mm]\omega[/mm] = [mm]\lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \Rightarrow \nu[/mm]
> - [mm]\omega[/mm] = [mm]-(\omega[/mm] - [mm]\nu)[/mm] = [mm]\lambda\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Dadurch, dass ich sage, dass [mm]-(\omega[/mm] - [mm]\nu)[/mm] also immer
> automatisch wieder [mm]\lambda\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] ist, müsste
> das doch als Symmetriebeweis reichen, oder?
Nein, was dies mit der Symmetrie zu tun hat, erschließt sich mir nicht.
> Gibt es eigentlich ausschließlich eine gültige Lösung,
> oder mehrere bei solchen Beweisen?
Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, einen Beweis unterschiedlich aufzuschreiben.
Ich vermute jedoch, dass in diesem Beispiel alle "sinnvollen" Beweise im Grunde ähnlich vorgehen.
Bei anderen Aufgaben gibt es hingegen manchmal wirklich unterschiedliche Beweismethoden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Do 27.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> > Ich habe festgestellt, dass bei der Symmetrie
> > offensichtlich [mm]\lambda[/mm] zu [mm](-1)*\lambda[/mm] wird.
> Du meinst vermutlich das Richtige: [mm]\mu:=(-1)*\lambda[/mm]
> bezeugt [mm]wRv[/mm].
>
>
> > Da [mm]\nu[/mm] - [mm]\omega[/mm] = [mm]\lambda[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] ist, so
> > ist [mm]\omega[/mm] - [mm]\nu[/mm] = [mm](-1)\lambda* \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
>
>
> Es gilt in der Tat
>
> [mm]\omega-\nu=(-1)(\nu-\omega)=(-1)(\lambda\cdot\vektor{1\\1\\1})=((-1)\lambda)\vektor{1\\1\\1}[/mm].
>
>
> > Heißt das so viel wie:
> >
> > [mm]\nu[/mm] - [mm]\omega[/mm] = [mm]\lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \Rightarrow \omega[/mm]
> > - [mm]\nu[/mm] = [mm](-1)*\lambda\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> Ja.
>
>
> > Ansonsten hätte ich das noch im Angebot:
> > [mm]\nu[/mm] - [mm]\omega[/mm] = [mm]\lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 1} \Rightarrow \nu[/mm]
> > - [mm]\omega[/mm] = [mm]-(\omega[/mm] - [mm]\nu)[/mm] = [mm]\lambda\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> >
> > Dadurch, dass ich sage, dass [mm]-(\omega[/mm] - [mm]\nu)[/mm] also immer
> > automatisch wieder [mm]\lambda\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] ist, müsste
> > das doch als Symmetriebeweis reichen, oder?
> Nein, was dies mit der Symmetrie zu tun hat, erschließt
> sich mir nicht.
>
>
> > Gibt es eigentlich ausschließlich eine gültige Lösung,
> > oder mehrere bei solchen Beweisen?
> Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, einen Beweis
> unterschiedlich aufzuschreiben.
> Ich vermute jedoch, dass in diesem Beispiel alle
> "sinnvollen" Beweise im Grunde ähnlich vorgehen.
das vermute ich auch. Übrigens auch mal der Hinweis, dass es bei vielen
Aufgaben (bei der hier allerdings weniger) sinnvoll sein kann, sich zu
überlegen, in welcher Reihenfolge man die "Teilaufgaben" löst. Das ist
allerdings, obwohl anscheinend viele Dozenten das nicht so sehen,
eigentlich sowohl eine Übungssache als auch eine (eigentlich gar nicht so
*kleine*) Kunst!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Do 27.02.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur kurz hierzu:
> Gibt es eigentlich ausschließlich eine gültige Lösung,
> oder mehrere bei solchen Beweisen?
das kann man gar nicht so allgemein sagen - meist gibt es mehr als nur eine
einzige Lösung. Nehmen wir als Bsp. die Symmetrie:
Wenn
[mm] $v-w=\lambda*(1,1,1)^T\,,$
[/mm]
dann folgt
[mm] $w-v=\tilde{\lambda}*(1,1,1)^T$ [/mm] mit [mm] $\tilde{\lambda}:=\;-\,\lambda.$
[/mm]
Jetzt schreibst Du den Beweis genauer:
Sei
[mm] $vRw\,,$
[/mm]
es folgt alsdann
$vRw$ [mm] $\Rightarrow$ $\exists \lambda \in \IR$: $v-w=\lambda*(1,1,1)^T.$
[/mm]
Wir definieren [mm] $\tilde{\lambda}:=\,-\,\lambda,$ [/mm] dann gilt
[mm] $w-v=-(v-w)=-(\lambda*(1,1,1)^T)=(-\lambda)*(1,1,1)^T=\tilde{\lambda}*(1,1,1)^T\,,$
[/mm]
also gibt es ein [mm] $\tilde{\lambda} \in \IR$ [/mm] (nämlich [mm] $\tilde{\lambda}:=-\lambda$) [/mm] mit
[mm] $w-v=\tilde{\lambda}*(1,1,1)^T\,,$
[/mm]
und daher
[mm] $w-v=\tilde{\lambda}*(1,1,1)^T$ [/mm] mit einem [mm] $\tilde{\lambda}\in \IR$
[/mm]
liefert
[mm] $wRv.\,$
[/mm]
So, nun könnte man denken: Klar, wie soll man den Beweis denn anders
machen?
Naja, ich kann es so machen:
Ich unterscheide die Fälle
[mm] $vRw\,$ [/mm] und [mm] $v=w\,$
[/mm]
und
[mm] $vRw\,$ [/mm] und $v [mm] \not=w\,.$
[/mm]
Im zweiten Falle mache ich genau das gleiche wie oben - im ersten Falle
gilt [mm] $\lambda=0\,,$ [/mm] und dann kann ich durchaus auch [mm] $\tilde{\lambda}:=2\lambda$ [/mm] setzen.
Jetzt habe ich also "formal" was anderes gemacht - inhaltlich habe ich aber
eigentlich nichts neues gemacht: Denn für [mm] $\lambda=0$ [/mm] gilt ja auch [mm] $-\lambda=-0=0=2*0\,.$
[/mm]
Generell kannst Du Dir aber merken: Sobald es um "Existenzbeweise" geht,
sind oft auch mehrere Wege gangbar, die dann, im Gegensatz zu obigem
Beispiel, welches nur einen Zusatzweg *vortäuscht*, auch mal komplett
anders verlaufen können.
Ein Beispiel, wo man mal mehrere Wege sieht:
Um
[mm] $\lim_{x \to 0}(\exp(x)-\exp(0))/x=1$
[/mm]
zu beweisen, kann man einfach
[mm] $\lim_{x \to 0}(\exp(x)-\exp(0))/x=\exp'(0)=1$
[/mm]
hinschreiben.
Der Kanonen-auf-Spatzen-Schiesser rechnet vielleicht mit de l'Hôpital
[mm] $\lim_{x \to 0}(\exp(x)-\exp(0))/x=\lim_{x \to 0}(\exp'(x)/1)=\lim_{x \to 0}\exp(x)=\exp(\lim_{x \to 0}x)=\exp(0)=1.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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