Äquivalenzrelation zeigen < Relationen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Mo 06.04.2009 | | Autor: | ChaoZz |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Relation R:={(a,b) [mm] \in \IN^2 [/mm] | [mm] \exists [/mm] s [mm] \in \IN [/mm] : b = sa} eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IN^2 [/mm] ist. Wie lauten die Äquivalenzklassen bezüglich R? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich bin im ersten Semester und habe massive Anfängerprobleme. Ich habe kaum Unterlagen und finde im Netz nicht was ich suche. Ich benötige einmal eine Lösuung (ist nur eine Übungsaufgabe) damit ich etwas zum nachvollziehen habe und konkret möchte ich wissen ob mit [mm] \IN^2 [/mm] {1, 4, 9, 16, 25 .....} gemeint ist und vielleicht kann mir jemand in Worten diese Relation aussprechen, ich kann z.B. mit dem Doppelpunkt am Ende nichts anfangen, ebenso verstehe ich nicht was b = sa bedeutet bzw. was das für ein s neben [mm] \exists [/mm] ist. Ich weiß überhaupt nicht wie ich anfangen soll. :(
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Zeigen Sie, dass die Relation R:={(a,b) [mm]\in \IN^2[/mm] | [mm]\exists[/mm] s [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: b = sa} eine Äquivalenzrelation auf [mm]\IN^2[/mm] ist.
> Wie lauten die Äquivalenzklassen bezüglich R?
> Hallo, ich bin im ersten Semester und habe massive
> Anfängerprobleme. Ich habe kaum Unterlagen und finde im
> Netz nicht was ich suche. Ich benötige einmal eine Lösuung
> (ist nur eine Übungsaufgabe) damit ich etwas zum
> nachvollziehen habe und konkret möchte ich wissen ob mit
> [mm]\IN^2[/mm] {1, 4, 9, 16, 25 .....} gemeint ist und vielleicht
> kann mir jemand in Worten diese Relation aussprechen, ich
> kann z.B. mit dem Doppelpunkt am Ende nichts anfangen,
> ebenso verstehe ich nicht was b = sa bedeutet bzw. was das
> für ein s neben [mm]\exists[/mm] ist. Ich weiß überhaupt nicht wie
> ich anfangen soll. :(
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
[mm] \IN^2 [/mm] bedeutet [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN. [/mm] Damit ist gemeint, daß Du Paare (a,b) betrachten sollst, deren beide Komponenten aus den natürlichen Zahlen sind, also z.B. (2,5), (99, 24), (5,5) usw.
> [mm] R:=\{(a,b)\in \IN^2 | \exists s \in \IN: b = sa\} [/mm]
[mm] R:=\{(a,b)\in \IN^2 | ...\} [/mm] : R ist definiert als die Menge aller Zahlenpaare, deren beide Komponenten aus [mm] \IN [/mm] kommen, mit folgender Eigenschaft
[mm]\exists[/mm] s [mm]\in \IN[/mm] : b = sa : es existiert eine natürliche Zahl s, so daß b ein Vielfaches von a ist.
Damit weiß man nun, welche Zahlenpaare in R sind: diejenigen, bei denen die zweite Zahl ein Vielfaches der ersten Zahl ist.
Beispiele : (1,1), (1,4), (3,21), (5, 85).
Anders gesagt: die erste Zahl teilt die zweite.
Um zu zeigen, daß diese Menge eine Äquivalenzrelation ist, mußt Du drei Eigenschaften nachweisen.
Wenn Du verstanden hast, woraus die Menge R besteht, mach Dich mit den nachzuweisenden Eigenschaften vertraut und unternimm erste Lösungsschritte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mo 06.04.2009 | | Autor: | ChaoZz |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie, ob die Relation $ [mm] R:=\{(a,b)\in \IN^2 | \exists s \in \IN: b = sa\} [/mm] $ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. |
Vielen Dank für deine Antwort, leider ist mir ein Fehler in unterlaufen, hab zwei Aufgaben vermischt. Die richtige Aufgabenstellung schreib ich hier nochmal dazu s.o. . Das macht aber nichts, da du mein Kernproblem, das Verstehen der Relation gelöst hast, vielen Dank dafür. Ich kann nun nachvollziehen was gemeint ist verstehe aber nicht ganz, wie ich nun diese Untersuchungen machen soll. Ich weiß aber wann die Relation z.B. reflexiv ist - (a,a) [mm] \in [/mm] R für alle a [mm] \in [/mm] A etc. Ich bin für Hilfe sehr dankbar.
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Hallo Chaos,
> Untersuchen Sie, ob die Relation [mm]R:=\{(a,b)\in \IN^2 | \exists s \in \IN: b = sa\}[/mm]
> reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
> Vielen Dank für deine Antwort, leider ist mir ein Fehler in
> unterlaufen, hab zwei Aufgaben vermischt.
Ich wollte schon sagen, die Eigenschaft, Äquivalenzrelation zu sein, geht doch wohl offensichtlich an der Symmetrie kaputt...
> Die richtige Aufgabenstellung schreib ich hier nochmal dazu s.o. . Das
> macht aber nichts, da du mein Kernproblem, das Verstehen
> der Relation gelöst hast, vielen Dank dafür. Ich kann nun
> nachvollziehen was gemeint ist verstehe aber nicht ganz,
> wie ich nun diese Untersuchungen machen soll. Ich weiß aber
> wann die Relation z.B. reflexiv ist - (a,a) [mm]\in[/mm] R für alle
> a [mm]\in[/mm] A etc. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich bin für Hilfe sehr dankbar.
Ist diese Relation denn reflexiv?
Kannst du ein [mm] $s\in\IN$ [/mm] finden, so dass für alle [mm] $a\in\IN$ [/mm] gilt [mm] $a=s\cdot{}a$, [/mm] also [mm] $(a,a)\in [/mm] R$ ?
Das ist doch auch offensichtlich
Zur Symmetrie: da wirf einen scharfen Blick auf Angelas Antwort, da findest du schon diverse Gegenbeispiele.
Ein einziges Gegenbsp. reicht ja schon aus, um die Symmetrie zu widerlegen.
Schreibe mal eines hin, also ein Paar [mm] $(a,b)\in [/mm] R$, also mit natürlichen $a,b$, so dass aber [mm] $(b,a)\notin [/mm] R$ ist ...
Zur Transitivität:
auch hier nachrechnen!
Nimm dir $(a,b), [mm] (b,c)\in [/mm] R$ her und prüfe, ob auch [mm] $(a,c)\in [/mm] R$ ist
Dazu benutze die Definition von R
[mm] $(a,b)\in [/mm] R$ heißt: es gibt ein nat. [mm] $s_1$ [/mm] mit [mm] $b=s_1\cdot{}a$
[/mm]
[mm] $(b,c)\in [/mm] R$ analog: es gibt nat. [mm] $s_2$ [/mm] mit [mm] $c=s_2\cdot{}b$
[/mm]
Das nur noch zusammenmodeln ...
Ist [mm] $(a,c)\in [/mm] R$? Dh, gibt es ein [mm] $s_3\in\IN$ [/mm] mit [mm] $c=s_3\cdot{}a$?
[/mm]
Konstruiere das aus dem Obigen ...
LG
schachuzipus
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