Äquivalenzrelationen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:12 So 11.11.2007 | | Autor: | Feroxa |
| Aufgabe | 1.
Es sei [mm] A:\IN [/mm] x [mm] \IN. [/mm] Auf A sei [mm] \sim [/mm] definiert durch:
[mm] (n_1, m_1) \sim (n_2, m_2) \gdw n_1 [/mm] + [mm] m_2 [/mm] = [mm] n_2 [/mm] + [mm] m_1
[/mm]
Zeigen sie, dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation auf A ist und beschreiben Sie die Äquivalenzklassen von [mm] \sim.
[/mm]
2.
[mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2 [/mm] seien Äquivalenzrelationen auf der Menge A. Untersuchen Sie ob [mm] R_1 \cap R_2 [/mm] und [mm] R_1 \cup R_2 [/mm] Äquivalenzrelationen auf A sind. |
1.
Also im Allgemeinen versteh ich ja den Nachweis von Äquivalenzrelationen, aber das sind hier hier nen bisschen zu viele Variabeln.
für Reflexivität dachte ich vielleicht dass man da sowas schreiben muss wie [mm] (n_1, m_1) \sim (n_1, m_1) [/mm] --> [mm] n_1 [/mm] + [mm] m_1 [/mm] = [mm] n_1 [/mm] + [mm] m_1 [/mm] --> 0 = 0
aber irgendwie sieht das echt komisch aus. Ich weiß einfach nicht welche Variabeln ich da zusammenschreiben muss.
Symmetrie sieht bei mir so aus:
wenn [mm] (n_1, m_1) \sim n_2, m_2) [/mm] dann auch [mm] (n_2, m_2) \sim (n_1, m_1)?
[/mm]
also muss [mm] n_1 [/mm] + [mm] m_2 [/mm] = [mm] n_2 [/mm] + [mm] m_1 \sim n_2 [/mm] + [mm] m_1 [/mm] = [mm] n_1 +m_2
[/mm]
das sieht genauso falsch aus. Aber ich kann die Variabeln ja auch nicht tauschen....ich hab einfach keine Ahnung wie ich mit den vier verschieden Variabeln umgehen soll.
2.
Da fehlt mir schon der komplette Ansatz. Ich weiß dass das erste stimmt und das zweite nicht, aber ich hab keine Ahnung wie ich das beweisen soll. weil ich hab da ja keine Gleichung gegeben wie oben. Muss ich die beiden Sachen in Gleichungen umschreiben oder so?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für die Hilfe, Feroxa
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Hallo Feroxa!
> 1.
> Es sei [mm]A:\IN[/mm] x [mm]\IN.[/mm] Auf A sei [mm]\sim[/mm] definiert durch:
> [mm](n_1, m_1) \sim (n_2, m_2) \gdw n_1[/mm] + [mm]m_2[/mm] = [mm]n_2[/mm] + [mm]m_1[/mm]
> Zeigen sie, dass [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation auf A ist
> und beschreiben Sie die Äquivalenzklassen von [mm]\sim.[/mm]
>
> 2.
> [mm]R_1[/mm] und [mm]R_2[/mm] seien Äquivalenzrelationen auf der Menge A.
> Untersuchen Sie ob [mm]R_1 \cap R_2[/mm] und [mm]R_1 \cup R_2[/mm]
> Äquivalenzrelationen auf A sind.
> 1.
> Also im Allgemeinen versteh ich ja den Nachweis von
> Äquivalenzrelationen, aber das sind hier hier nen bisschen
> zu viele Variabeln.
>
> für Reflexivität dachte ich vielleicht dass man da sowas
> schreiben muss wie [mm](n_1, m_1) \sim (n_1, m_1)[/mm] --> [mm]n_1[/mm] + [mm]m_1[/mm]
> = [mm]n_1[/mm] + [mm]m_1[/mm] --> 0 = 0
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das Argument ist halt einfach, dass die Relation ja reflexiv ist, wenn [mm] (n_1,m_1)\sim(n_1,m_1). [/mm] Und da diese "Bedingung" nichts anderes ist als [mm] n_1+m_1=n_1+m_1 [/mm] was offensichtlich gilt, ist damit die Reflexivität gezeigt.
> aber irgendwie sieht das echt komisch aus. Ich weiß einfach
> nicht welche Variabeln ich da zusammenschreiben muss.
>
> Symmetrie sieht bei mir so aus:
> wenn [mm](n_1, m_1) \sim n_2, m_2)[/mm] dann auch [mm](n_2, m_2) \sim (n_1, m_1)?[/mm]
>
> also muss [mm]n_1[/mm] + [mm]m_2[/mm] = [mm]n_2[/mm] + [mm]m_1 \sim n_2[/mm] + [mm]m_1[/mm] = [mm]n_1 +m_2[/mm]
Dies ist genauso richtig wie das erste. 
> das sieht genauso falsch aus. Aber ich kann die Variabeln
> ja auch nicht tauschen....ich hab einfach keine Ahnung wie
> ich mit den vier verschieden Variabeln umgehen soll.
>
> 2.
> Da fehlt mir schon der komplette Ansatz. Ich weiß dass das
> erste stimmt und das zweite nicht, aber ich hab keine
> Ahnung wie ich das beweisen soll. weil ich hab da ja keine
> Gleichung gegeben wie oben. Muss ich die beiden Sachen in
> Gleichungen umschreiben oder so?
Ich würde mir als erstes mal allgemein die Bedingungen aufschreiben, die gelten, da [mm] R_1 [/mm] und [mm] R_2 [/mm] Äquivalenzrelationen sind. Für [mm] $(n_1,m_1)\in R_1$ [/mm] gilt ja z. B. [mm] $(n_1,m_1)\sim(n_1,m_1)$. [/mm] Für [mm] $(n_2,m_2)\in R_2$ [/mm] gilt ja auch [mm] $(n_2,m_2)\sim(n_2,m_2)$. [/mm] Was ist also, wenn du ein Element - nennen wir es mal [mm] (n_3,m_3) [/mm] - hast, dass sowohl in [mm] R_1 [/mm] als auch in [mm] R_2 [/mm] liegt (also im Schnitt)? Dann gilt für dieses Element ja [mm] $(n_3,m_3)\sim(n_3,m_3)$ [/mm] im Prinzip sogar zweimal, einmal gilt es, weil es in [mm] R_1 [/mm] ist und es dort für alle Elemente gilt, und einmal gilt es, weil es in [mm] R_2 [/mm] ist und es dort für alle Elemente gilt.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 So 11.11.2007 | | Autor: | Feroxa |
Danke für die schnelle Antwort. Ich hab da noch zwei weitere Fragen.
Also für Transitivität hab ich das jetzt so gemacht:
[mm] n_1 [/mm] + [mm] m_2 [/mm] = [mm] n_2 [/mm] + [mm] m_1
[/mm]
setze z = [mm] n_1 [/mm] + [mm] m_2 [/mm] --> oben einsetzen ergibt z = [mm] n_2 [/mm] + [mm] m_1 [/mm] daraus folgt dass [mm] n_1 [/mm] + [mm] m_2 [/mm] = [mm] n_2 [/mm] + [mm] m_1
[/mm]
ist das richtig?
und ich muss dafür noch die Äquivalenzklassen beschreiben. Da hab ich wieder das Problem mit den ganzen Variabeln. Ich weiß was Äquivalenzklassen sind aber ich kann sie auf das Beispiel irgendwie nicht anwenden.
Danke Feroxa
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Di 13.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Feroxa!
> Danke für die schnelle Antwort. Ich hab da noch zwei
> weitere Fragen.
>
> Also für Transitivität hab ich das jetzt so gemacht:
>
> [mm]n_1[/mm] + [mm]m_2[/mm] = [mm]n_2[/mm] + [mm]m_1[/mm]
>
> setze z = [mm]n_1[/mm] + [mm]m_2[/mm] --> oben einsetzen ergibt z = [mm]n_2[/mm] + [mm]m_1[/mm]
> daraus folgt dass [mm]n_1[/mm] + [mm]m_2[/mm] = [mm]n_2[/mm] + [mm]m_1[/mm]
Das habe ich nicht verstanden. Für die Transitivität nimmst du dir drei Elemente [mm](n_1,m_1)[/mm], [mm](n_2,m_2)[/mm] und [mm](n_3,m_3)[/mm], zeigst dann, dass aus
[mm] (n_1,m_1) \sim (n_2,m_2)[/mm] und [mm] (n_2,m_2) \sim (n_3,m_3)[/mm]
die Aussage
[mm] (n_1,m_1) \sim (n_3,m_3)[/mm]
folgt.
Also:
a) Voraussetzungen:
[mm]n_1+m_2 = n_2+m_1[/mm]
[mm]n_2+m_3 = n_3+m_2[/mm]
b) Zu zeigen: [mm]n_1+m_3 = n_3+m_1[/mm]
Tipp: schreibe die Gleichungen als Differenzen: [mm]n_1-n_2 = m_1-m_2[/mm], usw.
> und ich muss dafür noch die Äquivalenzklassen beschreiben.
> Da hab ich wieder das Problem mit den ganzen Variabeln. Ich
> weiß was Äquivalenzklassen sind aber ich kann sie auf das
> Beispiel irgendwie nicht anwenden.
Auch da würde ich die Gleichungen als Differenzen schreiben, dann siehst du leichter, wie die Äquivalenzklassen aussehen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 13.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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