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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 So 26.06.2005 | | Autor: | raimund |
hallo, bin auf eine für mich sehr seltsame folgerung gestoßen die ich nicht für richtig halte jedoch den fehler in der beweisführung nicht finden kann:
sei R eine Relation und x,y [mm] \in [/mm] M. wenn R transitiv und symmetrisch ist ist sie automatisch auch reflexiv da:
xRz [mm] \Rightarrow [/mm] zRx (Symmetrie) und
xRz [mm] \wedge [/mm] zRx [mm] \Rightarrow [/mm] xRx (Transitivität)
und somit eine Äquivalenzrelation.
dies würde die Definition der Äquivrel. ja auf die Transitivität und Symmetrie beschränken was mich sehr wundern würde. andererseits ist der Beweis für mich schlüssig. über jegliche Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 So 26.06.2005 | | Autor: | bazzzty |
> sei R eine Relation und x,y [mm]\in[/mm] M. wenn R transitiv und
> symmetrisch ist ist sie automatisch auch reflexiv da:
>
> xRz [mm]\Rightarrow[/mm] zRx (Symmetrie) und
> xRz [mm]\wedge[/mm] zRx [mm]\Rightarrow[/mm] xRx (Transitivität)
Das kommt Dir zurecht komisch vor, der Fehler ist leicht zu entlarven:
Um die Reflexivität [mm]xRx[/mm] zu zeigen, wird vorausgesetzt, daß es irgendein [mm]z[/mm] gibt, so daß [mm]xRz[/mm]. Das ist aber nicht zwangsläufig gegeben. Symmetrie heißt eben nur, daß *wenn* es ein solches gibt, dann auch [mm]zRx[/mm].
Gebenbeispiele gibt es entsprechend viele, am einfachsten ist die leere Relation, die sicher symmetrisch und transitiv ist, aber eben nicht reflexiv.
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Kannst du mir das bitte nochmel genauer so zu sagen für dumme erklären? Habe immer noch nicht verstanden, warum eine Relation zwar symmetrisch und transitiv, jedoch nicht refexiv sein kann...
Vielen Dank im Vorraus!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mi 01.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
das wurde hier doch schon an einigen Beispielen dargestellt.
Die Argumentation:
aus xRy und yRx folgt durch transitivität, dass auch xRx
wenn dies für jedes x gelten soll, muss man hier aber auch vorraussetzen, dass es ein y gibt mit xRy
(erst dann greift ja die Argumentation)
dies kann man aber nicht vorraussetzen, wie man an einigen Beispielen sieht..
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 26.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi bazzzty!
Was meinst du mit "leere Relation"?
die Relation R auf eine leere Menge?
die ist aber sicher reflexiv.
denn
[mm] a R a \qquad \forall a \in \{\} [/mm]
oder?
lG
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 So 26.06.2005 | | Autor: | bazzzty |
Eine (binäre) Relation über einer Grundmenge [mm]M[/mm] ist eine Teilmenge [mm]R[/mm] der geordneten 2-Tupel über [mm]M[/mm], also
[mm]R \subseteq M^2[/mm].
Es ist [mm]xRy\Leftrightarrow (x,y)\in R[/mm].
Die leere Relation ist [mm]R=\emptyset[/mm], sie ist immer symmetrisch und transitiv, allerdings nicht reflexiv außer im degenerierten Fall, in dem auch [mm]M=\emptyset[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 So 26.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
> Eine (binäre) Relation über einer Grundmenge [mm]M[/mm] ist eine
> Teilmenge [mm]R[/mm] der geordneten 2-Tupel über [mm]M[/mm], also
> [mm]R \subseteq M^2[/mm].
> Es ist [mm]xRy\Leftrightarrow (x,y)\in R[/mm].
das ist schon klar.
> Die leere Relation ist [mm]R=\emptyset[/mm], sie ist immer
> symmetrisch und transitiv, allerdings nicht symmetrisch
> außer im degenerierten Fall, in dem auch [mm]M=\emptyset[/mm].
mir war nur der Begriff der "leeren" Relation nicht gelaeufig. Aber ein paar Minuten nach dem Abschicken kam mir eh die Idee [mm] R=\{\} [/mm] koennte gemeint sein. Bis ich wieder meine Frage editieren konnte - ist der Server immer so laggy? - war meine Frage schon von Dir reserviert.
trotzdem vielen Dank bazzzty
lG
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 So 26.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
eine nicht-leere Relation als Gegenbeispiel um mal zu sehen, dass genau dort der Fehler liegt, wo bazzty geschrieben hat:
Relation auf IN. R := { (x,y) | x+y = 0 }
Dann ist R = {(0,0)}
weil es kein versch. x und y gibt mit x+y=0, ist R sicher symmetrisch und transitiv, aber eben nicht reflexiv, denn z.B. (1,1) ist nicht in R...
viele Grüße
DaMenge
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