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| Aufgabe | Es sei A eine beliebige nichtleere Menge, [mm] $R\subseteq A\times [/mm] A$ eine Relation auf A.
a) Sei R eine Äquivalenzrelation. Zu [mm] $x\in [/mm] A$ heißt die Menge [mm] $[x]_R:=\{ y\in A: R(x,y)\} [/mm] $ die Äquivalenzklasse von x unter R.
Zeigen Sie, dass für x,y [mm] \in [/mm] A entweder [mm] $[x]_R=[y]_R$ [/mm] oder [mm] $[x]_R \cap [y]_R=\emptyset$ [/mm] gilt.
Zeigen Sie weiter, dass [mm] $A=\bigcup_{x\in A} [x]_R$.
[/mm]
b) Zeigen Sie umgekehrt: Ist I eine Menge und sind [mm] $\{ A_\iota | \iota\in I \}$ [/mm] nichtleere Teilmengen von A derart, dass [mm] $\iota \neq \delta \Rightarrow A_\iota \cap A_\delta =\emptyset$ [/mm] für alle [mm] $\iota [/mm] , [mm] \delta \in [/mm] I$ und [mm] $A=\bigcup_{\iota\in I} A_\iota$ [/mm] , so ist R gegeben durch
$R(x,y) gdw. [mm] \exists \iote \in I(\{x,y \} \subseteq A_\iota)$
[/mm]
eine Äquivalenzrelation |
Hallo :)
Ich habe ein Problem bei der obrigen Aufgabe.
Die erste Teilaufgabe von der a) habe ich.
Jedoch weiß ich bei der Aufgabe
Zeigen Sie weiter, dass [mm] $A=\bigcup_{x\in A} [x]_R$.
[/mm]
Nicht weiter, genauso wie bei der b)
Vielen Dank für Die Hilfe
LG
Dudi
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> Es sei A eine beliebige nichtleere Menge, [mm]R\subseteq A\times A[/mm]
> eine Relation auf A.
> a) Sei R eine Äquivalenzrelation. Zu [mm]x\in A[/mm] heißt die
> Menge [mm][x]_R:=\{ y\in A: R(x,y)\}[/mm] die Äquivalenzklasse von
> x unter R.
> Zeigen Sie, dass für x,y [mm]\in[/mm] A entweder [mm][x]_R=[y]_R[/mm] oder
> [mm][x]_R \cap [y]_R=\emptyset[/mm] gilt.
> Zeigen Sie weiter, dass [mm]A=\bigcup_{x\in A} [x]_R[/mm].
> b)
> Zeigen Sie umgekehrt: Ist I eine Menge und sind [mm]\{ A_\iota | \iota\in I \}[/mm]
> nichtleere Teilmengen von A derart, dass [mm]\iota \neq \delta \Rightarrow A_\iota \cap A_\delta =\emptyset[/mm]
> für alle [mm]\iota , \delta \in I[/mm] und [mm]A=\bigcup_{\iota\in I} A_\iota[/mm]
> , so ist R gegeben durch
> [mm]R(x,y) gdw. \exists \iote \in I(\{x,y \} \subseteq A_\iota)[/mm]
>
> eine Äquivalenzrelation
>
> Hallo :)
> Ich habe ein Problem bei der obrigen Aufgabe.
> Die erste Teilaufgabe von der a) habe ich.
> Jedoch weiß ich bei der Aufgabe
> Zeigen Sie weiter, dass [mm]A=\bigcup_{x\in A} [x]_R[/mm].
> Nicht
> weiter,
Hallo,
woran scheitert es?
Es sind [mm] \subseteq [/mm] und [mm]\supseteq[/mm] zu zeigen.
> genauso wie bei der b)
Was ist denn zu zeigen, wenn man zeigen will, daß R eine Äquivalenzrelation ist?
LG Angela
>
> Vielen Dank für Die Hilfe
>
> LG
> Dudi
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