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| Aufgabe | Betrachtung der Relation auf Menge [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN
[/mm]
[mm] (n_{1}, n_{2}) [/mm] ~ [mm] (m_{1}, m_{2}) \gdw n_{1} [/mm] + [mm] m_{2} [/mm] = [mm] n_{2} [/mm] + [mm] m_{1}
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist! |
Mein Lösungsansatz wäre, eben wie für jede Äquivalenzrelation zu prüfen, ob das ganze reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
reflexiv: [mm] (n_{1}, n_{2}) [/mm] ~ [mm] (n_{1}, n_{2}) \gdw n_{1} [/mm] + [mm] n_{2} [/mm] = [mm] n_{2} [/mm] + [mm] n_{1}
[/mm]
symmetrie: [mm] (n_{1}, n_{2}) [/mm] ~ [mm] (m_{1}, m_{2}) \gdw n_{1} [/mm] + [mm] m_{2} [/mm] = [mm] n_{2} [/mm] + [mm] m_{1} \Rightarrow (m_{1}, m_{2}) [/mm] ~ [mm] (n_{1}, n_{2}) \gdw m_{1} [/mm] + [mm] n_{2} [/mm] = [mm] m_{2} [/mm] + [mm] n_{1}
[/mm]
transitiv: [mm] (n_{1}, n_{2}) [/mm] ~ [mm] (m_{1}, m_{2}) \gdw n_{1} [/mm] + [mm] m_{2} [/mm] = [mm] n_{2} [/mm] + [mm] m_{1} [/mm] und [mm] (m_{1}, m_{2}) [/mm] ~ [mm] (k_{1}, k_{2}) \gdw m_{1} [/mm] + [mm] k_{2} [/mm] = [mm] m_{2} [/mm] + [mm] k_{1} \Rightarrow (n_{1}, n_{2}) [/mm] ~ [mm] (k_{1}, k_{2}) \gdw n_{1} [/mm] + [mm] k_{2} [/mm] = [mm] n_{2} [/mm] + [mm] k_{1}
[/mm]
Addiert man [mm] (n_{1}, n_{2}) [/mm] ~ [mm] (m_{1}, m_{2}) \gdw n_{1} [/mm] + [mm] m_{2} [/mm] = [mm] n_{2} [/mm] + [mm] m_{1} [/mm] und [mm] (m_{1}, m_{2}) [/mm] ~ [mm] (k_{1}, k_{2}) \gdw m_{1} [/mm] + [mm] k_{2} [/mm] = [mm] m_{2} [/mm] + [mm] k_{1} \Rightarrow n_{1} [/mm] + [mm] m_{2} [/mm] + [mm] m_{1} [/mm] + [mm] k_{2} [/mm] = [mm] n_{2} [/mm] + [mm] m_{1} [/mm] + [mm] m_{2} [/mm] + [mm] k_{1} [/mm]
[mm] \gdw n_{1} [/mm] + [mm] k_{2} [/mm] = [mm] n_{2} [/mm] + [mm] k_{1}, [/mm] also [mm] (n_{1}, n_{2}) [/mm] ~ [mm] (k_{1}, k_{2})
[/mm]
QED
Und eine Frage ist dann noch, ob jede Äquivalenzklasse ein Element der Art (n,1) enthält?! Wie mach ich das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Betrachtung der Relation auf Menge [mm]\IN[/mm] x [mm]\IN[/mm]
>
> [mm](n_{1}, n_{2})[/mm] ~ [mm](m_{1}, m_{2}) \gdw n_{1}[/mm] + [mm]m_{2}[/mm] = [mm]n_{2}[/mm]
> + [mm]m_{1}[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist!
> Mein Lösungsansatz wäre, eben wie für jede
> Äquivalenzrelation zu prüfen, ob das ganze reflexiv,
> symmetrisch und transitiv ist.
>
> reflexiv: [mm](n_{1}, n_{2})[/mm] ~ [mm](n_{1}, n_{2}) \gdw n_{1}[/mm] +
> [mm]n_{2}[/mm] = [mm]n_{2}[/mm] + [mm]n_{1}[/mm]
>
> symmetrie: [mm](n_{1}, n_{2})[/mm] ~ [mm](m_{1}, m_{2}) \gdw n_{1}[/mm] +
> [mm]m_{2}[/mm] = [mm]n_{2}[/mm] + [mm]m_{1} \Rightarrow (m_{1}, m_{2})[/mm] ~ [mm](n_{1}, n_{2}) \gdw m_{1}[/mm]
> + [mm]n_{2}[/mm] = [mm]m_{2}[/mm] + [mm]n_{1}[/mm]
>
> transitiv: [mm](n_{1}, n_{2})[/mm] ~ [mm](m_{1}, m_{2}) \gdw n_{1}[/mm] +
> [mm]m_{2}[/mm] = [mm]n_{2}[/mm] + [mm]m_{1}[/mm] und [mm](m_{1}, m_{2})[/mm] ~ [mm](k_{1}, k_{2}) \gdw m_{1}[/mm]
> + [mm]k_{2}[/mm] = [mm]m_{2}[/mm] + [mm]k_{1} \Rightarrow (n_{1}, n_{2})[/mm] ~
> [mm](k_{1}, k_{2}) \gdw n_{1}[/mm] + [mm]k_{2}[/mm] = [mm]n_{2}[/mm] + [mm]k_{1}[/mm]
>
> Addiert man [mm](n_{1}, n_{2})[/mm] ~ [mm](m_{1}, m_{2}) \gdw n_{1}[/mm] +
> [mm]m_{2}[/mm] = [mm]n_{2}[/mm] + [mm]m_{1}[/mm] und [mm](m_{1}, m_{2})[/mm] ~ [mm](k_{1}, k_{2}) \gdw m_{1}[/mm]
> + [mm]k_{2}[/mm] = [mm]m_{2}[/mm] + [mm]k_{1} \Rightarrow n_{1}[/mm] + [mm]m_{2}[/mm] + [mm]m_{1}[/mm] +
> [mm]k_{2}[/mm] = [mm]n_{2}[/mm] + [mm]m_{1}[/mm] + [mm]m_{2}[/mm] + [mm]k_{1}[/mm]
> [mm]\gdw n_{1}[/mm] + [mm]k_{2}[/mm] = [mm]n_{2}[/mm] + [mm]k_{1},[/mm] also [mm](n_{1}, n_{2})[/mm] ~
> [mm](k_{1}, k_{2})[/mm]
>
> QED
>
> Und eine Frage ist dann noch, ob jede Äquivalenzklasse ein
> Element der Art (n,1) enthält?! Wie mach ich das?
Überlege Dir, dass aus [mm] (n_1,n_2) \sim [/mm] (n,1) folgt: [mm] n_1 \ge n_2
[/mm]
FRED
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Das hilft mir nicht gerade weiter. Ich versteh grad nicht, was ich damit anfangen soll. Vielleicht hilft mir ein etwas genauerer Bezug zur Aufgabe...!
Und was ist mit dem Teil davor? Ist der richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das hilft mir nicht gerade weiter. Ich versteh grad nicht,
> was ich damit anfangen soll. Vielleicht hilft mir ein etwas
> genauerer Bezug zur Aufgabe...!
Wenn Du das gemacht hättest, was ich Dir geraten hatte, so würdest Du es sehen !
[mm] (n_1,n_2) \sim [/mm] (n,1) [mm] \gdw n_1+1=n_2+n \gdw n_1-n_2=n-1.
[/mm]
Das bedeutet: enthält die Äquivalenzklasse von [mm] (n_1,n_2) [/mm] ein Element der Form (n,1), so gilt:
[mm] n_1-n_2=n-1 \ge [/mm] 0.
Trifft das z.B. auf (2,5) zu ?
> Und was ist mit dem Teil davor? Ist der richtig?
Ja
FRED
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Trifft nicht zu?!
Wenn ich (2,5) einsetze, dann ist n - 1 nicht größer als 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Do 25.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Trifft nicht zu?!
> Wenn ich (2,5) einsetze, dann ist n - 1 nicht größer als
> 0
Also enthält die Äquivalenzklasse von (2,5) kein Element der Art (n,1)
FRED
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