Äquivalenzrelationen und Abb. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:19 Di 31.10.2006 | | Autor: | peter_d |
| Aufgabe | a) Wie viele verschiedene Äquivalenzrelationen gibt es auf einer 5-elementigen Menge?
b) Wie viele verschiedene Relationen gibt es auf einer vierelementigen Menge?
c) Wie viele injektive Abb. von {1,2,3,4} nach {1,2,3} bzw. von {1,2,3} nach {1,2,3,4,5} gibt es?
d) Wie viele verschiedene Partitionen einer vierelementigen Menge gibt es?
e) Auf [mm] $\{f\in Abb(\{1,2,3\},\{1,2,3\})|f \text{ ist injektiv}\}$ [/mm] sei * die Komposition von Abbildungen. Ist * auf der Menge kommutativ, assoziativ?
f) Ist [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] mit der komponentenweisen Multiplikation eine Gruppe? Bzw. ist [mm] $\mathbb{N}^2$ [/mm] mit der komponentenweisen Multiplikation eine Halbgruppe?
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Hallo.
Da es in den Vorlesungen zur LA sehr schnell geht, wollt ich zu Hause noch mal paar Aufgaben zur Verständigung üben. Wie man sehen kann, geht es auch grad mal um Grundsachen, aber trotzdem weiß ich nicht überall weiter.
Ich schreibe erstmal meine Gedanken nieder und hoffe dass mir hier ein paar andere kluge Leute weiterhelfen können  .
a) und b) ??
c) beim ersten keine, oder? beim zweiten 60?
d) ist das vergleichbar mit der Potenzmenge? Also gibts dann 16 verschiende partitionen? da ich das immer wieder anders aufteilen kann?
e) ???
f) was ist mit komponentenweisen Multiplikation gemeint?
Ich hoffe, es können mir hier ein paar weiterhelfen, wäre sehr nett, damit man nicht gleich zu Beginn des Studiums die Grundsachen nicht versteht.
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Tag,
zu (a): Eine Äquivalenzrelation ist doch im wesentlichen nichts anderes als eine Partition in Äquivalenzklassen, also: Wieviele Partitionen
einer 5-elementigen Menge in nicht-leere Teilmengen gibt es ?
In eine Klasse: eine
In zwei Klassen: [mm] (2^5-2)\slash [/mm] 2 (eine nichtleere echte Teilmenge wählen als eine der beiden Klassen, also [mm] 2^4-1=15
[/mm]
In drei Klassen:
- zwei Zweier, eine Einer: [mm] 5\cdot \vektor{4\\2}=5\cdot [/mm] 3
- eine Dreier, zwei Einer: [mm] \vektor{5\\2}=10
[/mm]
In vier Klassen: Eine Klasse hat zwei Elemente, also Anzahl gleich [mm] \vektor{5\\2}=10
[/mm]
In fünf Klassen: eine
Gesamt also: 1+15+15 + 10+10+1
(b) Eine binäre Relation R auf X ist eine Teilmenge von [mm] X\times [/mm] X, die Anzahl ist also [mm] 2^{|X\times X|}=2^{|X|^2}
[/mm]
Setze nun |X|=4 ein.
Viel Glück bei dem Rest wünscht
Mathias
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:07 Di 31.10.2006 | | Autor: | peter_d |
schon mal vielen dank.
heißt das bei b) nun [mm] 2^{4^2}, [/mm] sprich 2^16, oder heißt es [mm] (2^4)^2, [/mm] sprich [mm] 2^8 [/mm] ?? Weißt du zu den anderen zufällig auch etwas? danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Sa 04.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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