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| Aufgabe | | Seien [mm] \omega(x,y)=ydx [/mm] und [mm] \eta(x,y)=ydy [/mm] in [mm] \Omega^1(\IR^2). [/mm] Berechne [mm] \omega\wedge\eta, d\omega [/mm] und [mm] d\eta. [/mm] |
hallo,
ich sitze wieder vor einem "kleinen" Problem und hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.
erstmal zu [mm] d\omega: [/mm] da habe ich die äußere ableitung verwendet, d.h.
(1) [mm] d\omega=d(ydx)=dx\wedge [/mm] dy=dxdy
und (2) [mm] d\eta=d(ydy)=dy\wedge [/mm] dy=0
dabei habe ich folg betr. zu (1) [mm] d(\omega)=(\bruch{\partial\omega}{\partial x}dx+\bruch{\partial\omega}{\partial y}dy)\wedge [/mm] dx analog zu (2) [mm] d(\eta)=(\bruch{\partial\eta}{\partial x}dx+\bruch{\partial\eta}{\partial y}dy)\wedge [/mm] dy
jetzt zu [mm] \omega\wedge \eta:
[/mm]
da habe ich die äußere Ableitung verwendet d.h.
in der VL habe wir folg. Formel:
sind [mm] \omega \in \Omega^k, \eta \in\Omega^l, [/mm] so gilt
[mm] d(\omega\wedge \eta)=d\omega\wedge \eta+(-1)^k\omega\wedge d\eta. [/mm] ich habe dieses verwendet und dann eingesetzt. also
da [mm] \omege, \eta \in \Omega^1 [/mm] habe dann
[mm] d(\omega \wedge \eta)= dxdy\wedgeydy+(-1)^1ydx\wedge [/mm] 0
=dxdy [mm] \wedge [/mm] ydy-ydx
ist es richtig? bin für jeden tipp dankbar.
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 So 18.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> hallo,
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> ich sitze wieder vor einem "kleinen" Problem und hoffe ihr
> könnt mir da weiterhelfen.
>
> erstmal zu [mm]d\omega:[/mm] da habe ich die äußere ableitung
> verwendet, d.h.
> (1) [mm]d\omega=d(ydx)=dx\wedge[/mm] dy=dxdy
>
> und (2) [mm]d\eta=d(ydy)=dy\wedge[/mm] dy=0
> dabei habe ich folg betr. zu (1)
> [mm]d(\omega)=(\bruch{\partial\omega}{\partial x}dx+\bruch{\partial\omega}{\partial y}dy)\wedge[/mm]
> dx analog zu (2) [mm]d(\eta)=(\bruch{\partial\eta}{\partial x}dx+\bruch{\partial\eta}{\partial y}dy)\wedge[/mm]
> dy
Was du meinst ist wohl Folgendes: Ist [mm] $\omega=f(x,y)dx$, $f\in C^{\infty}(\mathbb{R})$, [/mm] so gilt [mm]d\omega=(\bruch{\partial f}{\partial x}dx+\bruch{\partial f}{\partial y}dy)\wedge dx[/mm]
Demnach ist $d [mm] \omega=dy \wedge [/mm] dx=-dx [mm] \wedge [/mm] dy$
> jetzt zu [mm]\omega\wedge \eta:[/mm]
> da habe ich die äußere
> Ableitung verwendet d.h.
Also sollst du $ [mm] d(\omega\wedge\eta) [/mm] $ berechnen?
>
> in der VL habe wir folg. Formel:
> sind [mm]\omega \in \Omega^k, \eta \in\Omega^l,[/mm] so gilt
> [mm]d(\omega\wedge \eta)=d\omega\wedge \eta+(-1)^k\omega\wedge d\eta.[/mm]
> ich habe dieses verwendet und dann eingesetzt. also
>
> da [mm]\omege, \eta \in \Omega^1[/mm] habe dann
>
> [mm]d(\omega \wedge \eta)= dxdy\wedgeydy+(-1)^1ydx\wedge[/mm] 0
> =dxdy [mm]\wedge[/mm] ydy-ydx
>
> ist es richtig? bin für jeden tipp dankbar.
>
> gruß
Liebe Grüße
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hallo,
eigentlich musste ich nach aufg [mm] \omega \wedge \eta [/mm] berechnen, aber ich gedacht das macht man mit der äußere ableitung.
wenn es falsch ist, kannst du mir da ein tipp geben?
ist der andere teil ansonsten richtig?
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Hallo questionpeter,
> hallo,
> eigentlich musste ich nach aufg [mm]\omega \wedge \eta[/mm]
> berechnen, aber ich gedacht das macht man mit der äußere
> ableitung.
>
> wenn es falsch ist, kannst du mir da ein tipp geben?
>
[mm]d\eta[/mm] ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]d\omega[/mm] hat mein Vorredner schon korrigiert.
> ist der andere teil ansonsten richtig?
Gruss
MathePower
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ich habe mal im internet zu diesem thema geschaut und kam dann zu den äußeren produkt.
da gab es folg. formel
sei [mm] \omega \in \Omega^k [/mm] und [mm] \eta \in \Omega^l, [/mm] dann gilt
[mm] \omega\wedge \eta [/mm] = [mm] (-1)^{kl}\eta \wedge \omega
[/mm]
[mm] \Rightarrow \omega \wedge \eta =-\eta \wedge \omega [/mm] (bringt mir eigentlich auch nich weiter)
aber dann habe ich es folg ausprobiert
[mm] \omega \wedge \eta=(ydx)(ydy)=y^2dxdy
[/mm]
ist das richtig meine überlegung?
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Hallo questionpeter,
> ich habe mal im internet zu diesem thema geschaut und kam
> dann zu den äußeren produkt.
>
> da gab es folg. formel
> sei [mm]\omega \in \Omega^k[/mm] und [mm]\eta \in \Omega^l,[/mm] dann gilt
> [mm]\omega\wedge \eta[/mm] = [mm](-1)^{kl}\eta \wedge \omega[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \omega \wedge \eta =-\eta \wedge \omega[/mm] (bringt
> mir eigentlich auch nich weiter)
>
> aber dann habe ich es folg ausprobiert
>
> [mm]\omega \wedge \eta=(ydx)(ydy)=y^2dxdy[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]\omega \wedge \eta=(ydx)\blue{\wedge}(ydy)=y^2 \ dx\blue{\wedge}dy[/mm]
Dann stimmt Deine Überlegung.
> ist das richtig meine überlegung?
Gruss
MathePower
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