äußerer Einheitsnormalenvektor < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hallo, wenn ich den Einheitskreis im Zweidimensionalen habe und dann für die Randpunkte die äußeren Einheitsnormalenvektoren bestimmen soll, was sind die?
Meint man dann den Verbindungsvektor vom Randpunkt $(x,y)$ zum Punkt $(x+1,y+1)$ also $(1,1)$ oder was Anderes? |
Oder ist der Normalenvektor $(x+1,y+1)$?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Mi 07.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, wenn ich den Einheitskreis im Zweidimensionalen habe
> und dann für die Randpunkte die äußeren
> Einheitsnormalenvektoren bestimmen soll, was sind die?
>
> Meint man dann den Verbindungsvektor vom Randpunkt [mm](x,y)[/mm]
> zum Punkt [mm](x+1,y+1)[/mm] also [mm](1,1)[/mm]
Wie kommst Du darauf ???
> oder was Anderes?
Ja
> Oder ist der Normalenvektor [mm](x+1,y+1)[/mm]?
Nein.
Sei [mm] K:=\{(x,y) \in \IR^2:x^2+y^2=1\}. [/mm] Male das mal.
Nun nehmen wir uns eine Punkt [mm] (x_0,y_0) \in [/mm] K her.
Betrachte die Gerade durch (0,0) und [mm] (x_0,y_0). [/mm]
Skizze !
Stelle die Parameterform dieser Geraden auf mit einem Richtungsvektor [mm] \vec{n} [/mm] der Länge 1 .
Überzeuge Dich davon., dass es zwei Möglichkeiten gibt:
[mm] \vec{n}=\vektor{x_0 \\ y_0} [/mm] oder [mm] \vec{n}=-\vektor{x_0 \\ y_0}
[/mm]
Der gesuchte äußere Einheitsnormalenvektor in [mm] (x_0,y_0) [/mm] ist dann wohl was ?
FRED
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Sorry, da hatte ich nicht nachgedacht.
Also wenn man einen Randpunkt $(x,y)$ hat, dann ist hiervon der äußere Einheitsnormalenvektor der Verbindungsvektor von $(x,y)$ nach $(2x,2y$, also $(x,y)$.
Jetzt richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mi 07.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, da hatte ich nicht nachgedacht.
>
> Also wenn man einen Randpunkt [mm](x,y)[/mm] hat, dann ist hiervon
> der äußere Einheitsnormalenvektor der Verbindungsvektor
> von [mm](x,y)[/mm] nach [mm](2x,2y[/mm], also [mm](x,y)[/mm].
>
> Jetzt richtig?
Ja
FRED
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Dann habe ich mal noch ein Beispiel, um zu sehen, ob ich das mit dem äußeren Einheitsnormalenfeld jetzt kapiert habe :3
also wenn ich folgende Menge habe
[mm] $\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2\leq 1,0\leq z\leq 1\right\}$, [/mm] so ist das ja ein Zylinder im [mm] $\mathbb{R}^3$. [/mm] Wenn ich jetzt das äußere Einheitsnormalenfeld $n$ von dem Rand von dieser Menge bestimmen soll, so würd ich das aufsplitten:
1.) "Deckel" des Zylinders:
Da ist das gegeben durch [mm] $n((x,y,z))=e_3=(0,0,1)$.
[/mm]
2.) "Boden" des Zylinders:
[mm] $n((x,y,z))=-e_3$
[/mm]
3.) Der Rest:
$n((x,y,z))=(x,y,0)$
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Mi 07.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Dann habe ich mal noch ein Beispiel, um zu sehen, ob ich
> das mit dem äußeren Einheitsnormalenfeld jetzt kapiert
> habe :3
>
> also wenn ich folgende Menge habe
>
> [mm]\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x^2+y^2\leq 1,0\leq z\leq 1\right\}[/mm],
> so ist das ja ein Zylinder im [mm]\mathbb{R}^3[/mm]. Wenn ich jetzt
> das äußere Einheitsnormalenfeld [mm]n[/mm] von dem Rand von
> dieser Menge bestimmen soll, so würd ich das aufsplitten:
>
> 1.) "Deckel" des Zylinders:
>
> Da ist das gegeben durch [mm]n((x,y,z))=e_3=(0,0,1)[/mm].
>
> 2.) "Boden" des Zylinders:
>
> [mm]n((x,y,z))=-e_3[/mm]
>
> 3.) Der Rest:
>
> [mm]n((x,y,z))=(x,y,0)[/mm]
>
>
> Richtig?
Na, ja...
Schwierigkeiten gibts in Punkten die auf der Mantelfläche und auf dem Deckel liegen (ebenso in gemeinsamen Punkten der Mantelfläche und des Bodens)
FRED
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Ja, stimmt. Aber es geht hier um eine Aufgabe, die damit zu tun hat, die Oberfläche des Zylinders mit dem Integralsazu von Gauß auszurechnen und ich glaube, dass dann diese problematischen Punkte keine Rolle spielen, weil sie ja keine Fläche darstellen.
Ich stelle am besten die Aufgabe in einer Extra-Frage.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Mi 07.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ja, stimmt. Aber es geht hier um eine Aufgabe, die damit zu
> tun hat, die Oberfläche des Zylinders mit dem Integralsazu
> von Gauß auszurechnen und ich glaube, dass dann diese
> problematischen Punkte keine Rolle spielen, weil sie ja
> keine Fläche darstellen.
Die problematischen Punkte bilden eine Nullmenge !
FRED
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> Ich stelle am besten die Aufgabe in einer Extra-Frage.
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Also ich meinte, ob das der Verbindungsvektor von $(x,y)$ zu $(2x,2y)$ ist, also $(x,y)$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Mi 07.08.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Also ich meinte, ob das der Verbindungsvektor von [mm](x,y)[/mm] zu
> [mm](2x,2y)[/mm] ist, also [mm](x,y)[/mm].
Das hat dir FRED doch schon längst bestätigt. Den gesuchten Vektor kannst du dir so veranschaulichen, dass der Radiusvektor vom Ursprung zu einem beliebigen Punkt P auf dem Kreis so verschoben wird, dass er in P beginnt. Dann zeigt er tatsächlich von (x,y) nach (2x,2y).
Gruß, Diophant
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