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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Hallo, ich habe ein Kompaktum $A\subseteq\mathbb{R}^2$ mit glattem Rand. Angenommen, dass $\partial A$ Bild einer geschlossenen, stetig differenzierbaren Kurve $\alpha$ ist.
Es ist also $\alpha\colon [a,b]\to\mathbb{R}^2$ mit $\alpha(a)=\alpha(b)$.
Wenn ich nun einen Randpunkt a\in\partial A habe, so ist ja $a=\alpha(t)$ für ein $t\in [a,b}$.
Wie kann ich jetzt den zugehörigen äußeren Einheitsnormalenvektor finden? |
Ich bin da gerade ein bisschen überfragt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:35 Do 29.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich habe ein Kompaktum [mm]A\subseteq\mathbb{R}^2[/mm] mit
> glattem Rand. Angenommen, dass [mm]\partial A[/mm] Bild einer
> geschlossenen, stetig differenzierbaren Kurve [mm]\alpha[/mm] ist.
>
> Es ist also [mm]\alpha\colon [a,b]\to\mathbb{R}^2[/mm] mit
> [mm]\alpha(a)=\alpha(b)[/mm].
>
> Wenn ich nun einen Randpunkt [mm]a\in\partial[/mm] A habe, so ist ja
> [mm]a=\alpha(t)[/mm] für ein [mm]t\in [a,b}[/mm].
>
>
> Wie kann ich jetzt den zugehörigen äußeren
> Einheitsnormalenvektor finden?
> Ich bin da gerade ein bisschen überfragt...
Sei [mm] \alpha(t)=(\alpha_1(t),\alpha_2(t))
[/mm]
Der zugeh.Tangentialvektor ist
[mm] (\alpha_1'(t),\alpha_2'(t))
[/mm]
Der Vektor
[mm] \beta(t):= (\alpha_2'(t),-\alpha_1'(t))
[/mm]
steht senkrecht auf dem Tangentialvektor.
Der von Dir gesuchte Vektor ist dann
[mm] $n(t)=\bruch{\beta(t)}{||\beta(t)||}
[/mm]
FRED
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Danke für die Antwort.
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Ich habe dazu eine Frage.
Und zwar ist der Rand doch parametrisiert durch [mm] $\alpha$.
[/mm]
Wenn ich jetzt einen Punkt [mm] $a\in\partial [/mm] A$ habe, gilt [mm] $a=\alpha(t)$ [/mm] für ein [mm] $t\in [/mm] [a,b]$.
Dann ist doch [mm] $\alpha'(t)$ [/mm] Basis der Tangentialebene an $a$.
Ich kenne es nun so, dass man den äußeren Einheitsnormalenvektor bekommt, indem man die das Kreuzprodukt aus den Basisvektoren der Tangentialebene bildet und dann durch die Norm dieses Kreuzprodukts dividiert.
Bekomme ich da den gleichen Vektor, den Du mir gesagt hast?
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:51 Do 29.08.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.eine ebene Kurve hat keine Tangentialebene.
2. die Normale steht senkrecht auf der Tangente.
3. das Skalarprodukt von 2 senkrechten Vektoren ist 0
4. wenn du das Vektorprodukt aus dem Tangential vektor in [mm] R^3 [/mm] und dem auf der [mm] R^2 [/mm] Ebene senkrecht stehenden Vektor nimmst, was kommt da raus?
Gruss leduart
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Hallo,
ja die Tangentialebene für einen Randpunkt ist hier eine Gerade, oder?
Ich weiß nicht genau, wieso das hier nicht funktioniert mit der Basis der Tangential"ebene".
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Und warum z.B. nicht
[mm] $(-\alpha_2'(t),\alpha_1'(t))$?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 29.08.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ja die Tangentialebene für einen Randpunkt ist hier eine
> Gerade, oder?
>
> Ich weiß nicht genau, wieso das hier nicht funktioniert
> mit der Basis der Tangential"ebene".
Die Gerade durch $ [mm] a=\alpha(t) [/mm] $ mit Richtungsvektor $ [mm] \alpha'(t) [/mm] $ ist gegeben durch
$x(s)=a+s* [mm] \alpha'(t) [/mm] $ ($s [mm] \in \IR$).
[/mm]
Das ist die Tangente an die Kurve [mm] \alpha [/mm] im Punkt $ [mm] a=\alpha(t) [/mm] $
FRED
>
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Okay, die Tangentialebene ist hier also die Gerade
[mm] $x(t)=\alpha(t)+s\alpha'(t)$.
[/mm]
Was ich mich die ganze Zeit frage:
Wenn man sagt, dass der Normalenvektor senkrecht zum Tangentialvektor steht - welchen Tantentialvektor meint man dann eigentlich?
Meint man einen beliebigen der nach "links" oder einen beliebigen der nach "rechts" zeigt?
Ich glaube hier einen, der nach links zeigt, weil man die Kurve ja gegen den Uhrzeigersinn parametrisiert hat?
Wenn man [mm] $(\alpha_1'(t),\alpha_2'(t))$ [/mm] als Tangentialvektor nimmt... wohin zeigt der? Nach links oder rechts? Ich würde sagen: nach links, da dann der Normalenvektor [mm] $(\alpha_2'(t),-\alpha_1'(t))$ [/mm] einer Drehung des Tangentialvektors um -90 Grad (also nach rechts, d.h. im Uhrzeigersinn) entspricht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Do 29.08.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
links und rechts machen keinen Sinn, wenn du auf einer geschlossenen Kurve läufst, in der Richtung, wie du die Kurve durchläaufst, stell ihn dir als Geschwindigkeitsvektor vor, und probier es am Kreis aus.
bis dann, lula
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Ja, links und rechts waren keine guten Begriffe dafür.
Ich weiß gerade nicht, wie ich das anders ausdrücken soll.
Wenn ich jetzt hier einen Randpunkt habe und dazu dann einen Tangentialvektor betrachten soll, so sind doch Tangentialvektoren in zwei Richtungen möglich - so meinte ich das.
Eine Richtung zeigt - grob gesprochen - in die Richtung, in der man die Kurve durchläuft (also hier den Rand durchläuft) und die andere Richtung ist die hierzu entgegengesetzte Richtung.
Und meine Frage ist
1. welche Richtung man meint, wenn man sagt, der Normalenvektor steht senkrecht auf dem Tangentialvektor (meint man dann einen Tangentialvektor in eine bestimmte Richtung oder ist das egal, in welche Richtung der zeigt, weil ein Normalenvektor ja doch eigentlich senkrecht auf allen Tangentialvektoren steht?)?
1. in welche der beiden Richtungen der Tangentialvektor [mm] $(\alpha_1'(t),\alpha_2'(t))$ [/mm] zeigt. Ich würde sagen in die Richtung, in der man die Kurve durchläuft (also gegen den Uhrzeigersinn?(wie gesagt - ich weiß nicht, wie man das besser formulieren kann).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Fr 30.08.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn die Kurve im mathematisch positiven Sinn durchlaufen wird, ist der äußere Normalenvektor der, der durch eine Linksksdrehung in den Tangentenvektor übergeht, d.h. wenn die Tangente (a,b) ist, dann die äußere Normale (b,-a) nochmal: probier das doch male an einer einfachen Kurve, Ellipse oder Kreis aus, das prägt sich viel besser ein!
Gruss leduart
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> Hallo
> Wenn die Kurve im mathematisch positiven Sinn durchlaufen
> wird, ist der äußere Normalenvektor der, der durch eine
> Linksksdrehung in den Tangentenvektor übergeht, d.h. wenn
> die Tangente (a,b) ist, dann die äußere Normale (b,-a)
Gut! Dann habe ich mir das richtig gedacht.
> nochmal: probier das doch male an einer einfachen Kurve,
> Ellipse oder Kreis aus, das prägt sich viel besser ein!
> Gruss leduart
Okay, ich nehme mal den Einheitskreis im [mm] $\mathbb{R}^2$, [/mm] also
[mm] $\alpha\colon t\longmapsto (\cos t,\sin [/mm] t), [mm] t\in [0,2\pi]$.
[/mm]
Wenn ich jetzt zum Beispiel mal den Punkt $(1,0)$ anschaue, also [mm] $\alpha(0)=(\cos(0),\sin(0))$, [/mm] und dann den Tangentialvektor [mm] $(\alpha_1'(t).\alpha_2'(t))$ [/mm] bilde, erhalte ich doch [mm] $(-\sin(0),\cos(0))=(0,1)$.
[/mm]
Ist der Startpunkt dieses Tangentialvektors jetzt der Punkt (1,0) oder (0,0)?
Er zeigt jedenfalls nach oben und insofern entsteht er aus Linksdrehung des Normalenvektors.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 Fr 30.08.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
wo man einen Vektor anfangen lässt ist egal, Betrachtest du ihn als Vektor, der eine Tangente beschreibt, geht er durch (1,0) im "Tangentialraum" gibt er eine Richtung an, in Physik zeichnet man ihn üblicherweise von (0,1)aus an.
Gruss leduart
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Hallo,
wieso ist es denn egal, ob der Vektor in (0,0) oder in (1,0) beginnt? Das ist doch was Unterschiedliches?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Fr 30.08.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
mathematische Vektoren sind Objekte, die keinen Anfangsplt haben, nur Richtung und Betrag. Eine Tangente also eine Gerade geht geht durch einen Punkt und hat eine Richtung.
Wenn du von einem Tangentialvektor im Punkt (9,1) sprichst, gibt der die Richtung der Tangente an, ist aber nicht die Tangente. Wenn du ihn zeichnest, wirst du ihn i.A, im Punkt (0,1) einzeichnen. aber sicher nicht in (0,0)
Gruss leduart
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