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| Aufgabe | | Man beweise, dass das äußere (Lebesgue-)Maß auf [mm]\lambda^\*[/mm] auf [mm]\mathcal E[/mm] den Lebesgueschen Inhalt [mm]\lambda[/mm] auf [mm]\mathcal E[/mm] fortsetzt, d. h., dass gilt: [mm]\lambda\big|_\mathcal E = \lambda^{\*}\big|_\mathcal E[/mm] |
Hallo,
ich habe eine Verständnisfrage zum äußeren Lebesgue-Maß. Die Frage würde ich gerne klären, damit ich obige Aufgabe lösen kann.
das äußere Lebesgue-Maß haben wir folgendermaßen definiert: [mm]\lambda^\*(A):=\inf\left\{\sum\limits_{k\in\mathbb N}|I^k|:I^k\in\mathcal I, A\subset\bigcup\limits_{k\in\mathbb N}I^k\right\}[/mm].
Ist das dann das Infimum der Summe der Volumina aller Intervalle die vereinigt eine Obermenge von [mm]A[/mm] bilden?
Anders ausgedrückt: Ich nehme mir eine Menge (maximal abzählbar viele) von Intervallen, so dass diese eine Obermenge von [mm]A[/mm] bilden, addiere die Volumina aller dieser Intervalle. Und das äußere Maß ist dann das Infimum aller möglichen dieser Intervallauswahlen?
Und ähnlich (aber nicht zu obiger Aufgabe gehörend) folgende Definition: [mm]\gamma^\*(A):=\sup\{|x_i-y_i|, i=1,\dots, n; x,y\in A\}[/mm].
Ist dort das Supremum aller möglichen Volumina, die durch bel. Punkte aus [mm]A[/mm] gebildet werden können gemeint?
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Huhu,
> Ist das dann das Infimum der Summe der Volumina aller
> Intervalle die vereinigt eine Obermenge von [mm]A[/mm] bilden?
> Anders ausgedrückt: Ich nehme mir eine Menge (maximal
> abzählbar viele) von Intervallen, so dass diese eine
> Obermenge von [mm]A[/mm] bilden, addiere die Volumina aller dieser
> Intervalle. Und das äußere Maß ist dann das Infimum
> aller möglichen dieser Intervallauswahlen?
Wenn du in [mm] \IR [/mm] bist sinds Intervalle, allgemein ist man aber im [mm] \IR^n [/mm] da sinds dann "Quader" (also dass was man sich als Quader im [mm] \IR^3 [/mm] vorstellt, Rechtecke im [mm] \IR^2)
[/mm]
Ansonsten sind deine Vorstellungen korrekt.
> Und ähnlich (aber nicht zu obiger Aufgabe gehörend)
> folgende Definition: [mm]\gamma^\*(A):=\sup\{|x_i-y_i|, i=1,\dots, n; x,y\in A\}[/mm].
>
> Ist dort das Supremum aller möglichen Volumina, die durch
> bel. Punkte aus [mm]A[/mm] gebildet werden können gemeint?
Nein: Hier wird nicht das "Volumen" genommen, sondern das äußere Maß von A ist eben einfach der "maximale" Abstand, den zwei Punkte in A haben können.
In [mm] \IR [/mm] also der Abstand vom "ganz linken" Punkt zum "ganz rechten".
MFG,
Gono.
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Hallo,
danke erstmal für die zügige Antwort.
> Wenn du in [mm]\IR[/mm] bist sinds Intervalle, allgemein ist man
> aber im [mm]\IR^n[/mm] da sinds dann "Quader" (also dass was man
> sich als Quader im [mm]\IR^3[/mm] vorstellt, Rechtecke im [mm]\IR^2)[/mm]
> Ansonsten sind deine Vorstellungen korrekt.
Wir betrachten auch mehrdimensionale Intervalle [mm]I\subset \mathbb R^n[/mm], also gleichbedeutend mit deinen erwähnten Quadern.
>
> > Und ähnlich (aber nicht zu obiger Aufgabe gehörend)
> > folgende Definition: [mm]\gamma^\*(A):=\sup\{|x_i-y_i|, i=1,\dots, n; x,y\in A\}[/mm].
>
> >
> > Ist dort das Supremum aller möglichen Volumina, die durch
> > bel. Punkte aus [mm]A[/mm] gebildet werden können gemeint?
>
> Nein: Hier wird nicht das "Volumen" genommen, sondern das
> äußere Maß von A ist eben einfach der "maximale"
> Abstand, den zwei Punkte in A haben können.
> In [mm]\IR[/mm] also der Abstand vom "ganz linken" Punkt zum "ganz
> rechten".
>
Also wäre bei [mm]A_1:=(1,2), A_2:=(3,4), A_1,A_2\subset\mathbb R[/mm] das äußere Maß nach dieser gegebenen Definition: [mm]\gamma^{\*}(A_1)=1=\gamma^{\*}(A_2), \gamma^{\*}\left(\bigcup\limits_{i=1}^{2}A_i\right)=3[/mm].
Und im [mm]\mathbb R^n[/mm] wäre es das Supremum aller Komponentenabstände? Also wäre z.B. [mm]\gamma^\*\left((0,2)\times(5,10)\right)=5[/mm]?
> MFG,
> Gono.
>
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Hiho,
> Also wäre bei [mm]A_1:=(1,2), A_2:=(3,4), A_1,A_2\subset\mathbb R[/mm]
> das äußere Maß nach dieser gegebenen Definition:
> [mm]\gamma^{\*}(A_1)=1=\gamma^{\*}(A_2),
> \gamma^{\*}\left(\bigcup\limits_{i=1}^{2}A_i\right)=3[/mm].
Jop.
> Und im [mm]\mathbb R^n[/mm] wäre es das Supremum aller
> Komponentenabstände? Also wäre z.B.
> [mm]\gamma^\*\left((0,2)\times(5,10)\right)=5[/mm]?
Jap, ebenfalls korrekt 
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Di 28.06.2011 | | Autor: | adnauseam |
Danke schön:)
mfg
adnauseam
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