affine Abb. Spiegelung < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Sa 25.08.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | A=(1|2), B=(6|3), C=(5|1)
Es sei [mm] g=\overline{AB}.
[/mm]
Berechne [mm] S_g(C) [/mm] den Bildpunkt von C an g |
Aus der Vorlesung ist mir für die Spiegelung bekannt:
[mm] A=\pmat{ a & b \\ b & -a }
[/mm]
[mm] a=\bruch{v_1^2-v_2^2}{v_1^2+v_2^2} [/mm] und [mm] b=\bruch{2v_1*v_2}{v_1^2+v_2^2}
[/mm]
Und für die Spiegelung gilt: [mm] S_g(C)=A_s(\vec{c}-\vec{a})+\vec{a}
[/mm]
Für die Gerade g gilt: g= [mm] \vektor{1 \\ 2}+\lambda (\vektor{5 \\ 1}
[/mm]
Wenn ich für a und b in die Matrix einsetze erhalte ich:
[mm] A_s= \bruch{1}{13}\pmat{ 12 & 5 \\ 5 & -12 }
[/mm]
[mm] S_g(C)=\bruch{1}{13}\pmat{ 12 & 5 \\ 5 & -12 }\vektor{4 \\ -1}+\vektor{1 \\ 2} =\vektor{\bruch{56}{13} \\ \bruch{58}{13}}
[/mm]
Für die Spiegelung an der Ursprungsgeraden gilt [mm] A=\pmat{ cos(2\alpha) & sin(2\alpha) \\ sin(2\alpha) & -cos(2\alpha) }
[/mm]
Für die Drehung am Ursprung gilt:
[mm] A_1=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] (Spiegelung an x-Achse)
[mm] A_2=\pmat{ cos\alpha & sin\alpha \\ sin\alpha & -cos\alpha } [/mm] (Spiegelung an Geraden)
[mm] A=A_1*A_2=\pmat{ cos\alpha & -sin\alpha \\ sin\alpha & cos\alpha }
[/mm]
Könnt ihr mir bei der Aufgabe erklären, wie ich Spiegelung an Ursprungsgerade und Drehung um den Ursprung beerchnen kann?
Hier kann ich ja sicher nicht das Schema [mm] A_s(\vec{x}-\vec{p})+\vec{p} [/mm] anwenden.
Über Erklärungen wäre ich dankbar!
LG heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Sa 25.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
jede lineare Abbildung ist durch die bilder der Basisvektoren bestimmt.
du kannst also einfach überlegen, wo [mm] (1,0)^T [/mm] und [mm] (0,1)^t [/mm] hingespiegelt werden, die Bilder der Basisvektoren sind dann die spalten der Abbildungsmatrix.
meinst du sowas?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Sa 25.08.2012 | | Autor: | heinze |
Eben habe ich die Spiegelung eines Punktes an einer Geraden gezeigt.
Nun soll der Punkt an einer Geraden gespiegelt werden, die durch den Ursprung geht um z.B. [mm] \alpha=30
[/mm]
Gilt dann:
[mm] \pmat{ cos(2\alpha) & sin(2\alpha) \\ sin(2\alpha) & -cos(2\alpha) }*\vektor{5 \\ 1}
[/mm]
[mm] =\pmat{ cos(60) & sin(60) \\ sin(60) & -cos(60) }*\vektor{5 \\ 1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\vektor{5+\wurzel{3} \\ 5\wurzel{3}-1}
[/mm]
Oder z.B. die Drehung im Ursprung um [mm] \alpha=60
[/mm]
[mm] \pmat{ cos(60) & -sin(60) \\ sin(60) & cos(60) }*\vektor{5 \\ 1}= \bruch{1}{2}\vektor{5-\wurzel{3} \\ 5\wurzel{3}-1}
[/mm]
Wie würde ich aber vorgehen wenn ich z.B. am Punkt A=(1|2) drehen soll mit dem Winkel [mm] \alpha=60, [/mm] wie mache ich das?
Hier soll nicht mit Einheitsvektoren usw. gerechnet werden sondern nur mit dem was ich hier aus der VL gepostet habe, alels andere würde in der Klausur Punktabzug geben.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Sa 25.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei einer geraden durch 0 ist es einfacher, es ist ja einfach [mm] \vec{a}=0
[/mm]
oder ddu nimmst wie selbst gesagt statt Spiegelung die Drehung um den doppelten winkel der Geraden.
Wenn du um einen beliebigenPunkt [mm] A=(a_1,a_2) [/mm] drehen willstetwa [mm] B=(b_1,b_2) [/mm] verschiebst du A in den 0Punkt, dabei wird aus B [mm] B'=(b_1-a_1,b2-a_2 [/mm] ) du drehst B' um 0 wie bekannt und addierst zu dem gedrehten B'' wieder [mm] (a_1,a_2)
[/mm]
also wenn d die drehmatrix ist:
[mm] D*(\vec{b}-\vec{a}) +\vec{A}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Sa 25.08.2012 | | Autor: | heinze |
Vielen Dank leduart! Das hat mir weitergeholfen! Also alles so wie bei meinem vorgerechneten Beispiel, nur die Abbildungsmatrix anpassen!
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Sa 25.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja
gruss leduart
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