affine Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 Do 17.01.2008 | | Autor: | trulla |
| Aufgabe | Gegeben ist eine affine Abbildung [mm] \delta\vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] A\vektor{x \\ y}+t [/mm] mit A = [mm] \pmat{ a & b \\ c & -a }, t=\vektor{e \\ f}.
[/mm]
Die Koeffizienten erfüllen weiterhin die Bedingungen a²+bc=1, bf+e(a+1)=0 und ce+f(1-a)=0.
1. Bestimmen Sie die Fixpunkte von [mm] \delta.
[/mm]
2. Zeigen Sie, dass [mm] \delta [/mm] eine Involution ist (d.h. zu zeigen ist [mm] \delta\circ\delta=id)
[/mm]
3. Ist [mm] \delta [/mm] eine Isometrie? (Beweisen Sie Ihre Antwort!)
4. Versuchen Sie, die Abbildung [mm] \delta [/mm] mit einer aus der Vorlesung bekannten Abbildung (Drehung, Streckung,...) zu identifizieren. |
Also zu 1. weiß ich, dass ein Punkt ein Fixpunkt ist, wenn f(P)=P gilt. Aber wie komme ich nun auf solche Fixpunkte?
Zu 2. Wie führe ich [mm] \delta\circ\delta [/mm] aus? Habe keine Ahnung, wie das aussehen soll. das wäre ja [mm] \pmat{ a & b \\ c & -a }+\vektor{e \\ f} \circ \pmat{ a & b \\ c & -a }+\vektor{e \\ f}. [/mm] aber was fange ich damit an? hab keine ahnung...
zu 3. ich weiß, dass Isometrien abstandserhaltende Transformationen sind,d.h. [mm] |\overrightarrow{f(A)f(B)}| [/mm] = [mm] |\overrightarrow{AB}| \forall A,B\in E^{n} [/mm] . Ich denke ja, dass es eine Isometrie ist....aber wie ich das jetzt beweise, weiß ich nicht.
und zu 4. hab ich leider keine idee.
bitte helft mir! danke schon mal im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Gegeben ist eine affine Abbildung [mm]\delta\vektor{x \\ y}[/mm] =
> [mm]A\vektor{x \\ y}+t[/mm] mit A = [mm]\pmat{ a & b \\ c & -a }, t=\vektor{e \\ f}.[/mm]
>
> Die Koeffizienten erfüllen weiterhin die Bedingungen
> a²+bc=1, bf+e(a+1)=0 und ce+f(1-a)=0.
>
> 1. Bestimmen Sie die Fixpunkte von [mm]\delta.[/mm]
> Also zu 1. weiß ich, dass ein Punkt ein Fixpunkt ist, wenn
> f(P)=P gilt. Aber wie komme ich nun auf solche Fixpunkte?
Hallo,
ich würde das so machen: angenommen , [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] wäre ein Fixpunkt.
Dann ist doch [mm] \delta\vektor{x \\ y}=\vektor{x \\ y},
[/mm]
Also [mm] A\vektor{x \\ y}+t=\vektor{x \\ y}.
[/mm]
Bedenke, daß [mm] \vektor{x \\ y}=E\vektor{x \\ y} [/mm] und löse
[mm] (A-E)\vektor{x \\ y}=-t.
[/mm]
> 2. Zeigen Sie, dass [mm]\delta[/mm] eine Involution ist (d.h. zu
> zeigen ist [mm]\delta\circ\delta=id)[/mm]
Du willst doch wissen, was [mm] \delta^2\vektor{x \\ y} [/mm] ist.
Also mußt Du [mm] \delta(\delta\vektor{x \\ y})= \delta (A\vektor{x \\ y}+t) [/mm] berechnen.
Was macht [mm] \delta [/mm] mit dem Vektor [mm] A\vektor{x \\ y}+t? [/mm] Der wired mit A multipliziert, und anschließend wird t addiert, und Du mußt nun schauen, ob das dasselbe ist wie [mm] \vektor{x \\ y}, [/mm] natürlich unter Beachtung der Bedingungen an a,b,c,d,e,f.
Ich denke, den rest heben wir uns für später auf.
Gruß v. Angela
> 3. Ist [mm]\delta[/mm] eine Isometrie? (Beweisen Sie Ihre
> Antwort!)
> 4. Versuchen Sie, die Abbildung [mm]\delta[/mm] mit einer aus der
> Vorlesung bekannten Abbildung (Drehung, Streckung,...) zu
> identifizieren.
> Also zu 1. weiß ich, dass ein Punkt ein Fixpunkt ist, wenn
> f(P)=P gilt. Aber wie komme ich nun auf solche Fixpunkte?
> Zu 2. Wie führe ich [mm]\delta\circ\delta[/mm] aus? Habe keine
> Ahnung, wie das aussehen soll. das wäre ja [mm]\pmat{ a & b \\ c & -a }+\vektor{e \\ f} \circ \pmat{ a & b \\ c & -a }+\vektor{e \\ f}.[/mm]
> aber was fange ich damit an? hab keine ahnung...
> zu 3. ich weiß, dass Isometrien abstandserhaltende
> Transformationen sind,d.h. [mm]|\overrightarrow{f(A)f(B)}|[/mm] =
> [mm]|\overrightarrow{AB}| \forall A,B\in E^{n}[/mm] . Ich denke ja,
> dass es eine Isometrie ist....aber wie ich das jetzt
> beweise, weiß ich nicht.
> und zu 4. hab ich leider keine idee.
>
> bitte helft mir! danke schon mal im Vorraus
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 20.01.2008 | | Autor: | trulla |
Danke erstmal für deine Antwort....damit konnte ich zumindest die zweite teilaufgabe lösen.
Bei 1. komm ich nicht wirklich weiter. Ich habe zumindest deinen Weg verstanden und mal (A-E) [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] =-t berechnet:
( [mm] \pmat{ a & b \\ c & -a } [/mm] - [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] ) [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] -\vektor{e \\ f}
[/mm]
[mm] \pmat{ a-1 & b \\ c & -a-1 }\vektor{x \\ y}= -\vektor{e \\ f}
[/mm]
[mm] \pmat{ (a-1)x & by \\ cx & (-a-1)y }= -\vektor{e \\ f}
[/mm]
Ist das bis hierhin richtig? und wie gehe ich weiter vor?
Könntet ihr mir auch noch Tipps zu 3. und 4. geben?
Es tut mir leid, dass ich mich erst wieder so spät und vor allem kurzfristig (bt´rauch die lösung bis morgen) melde, aber mein internet ging nicht. Hoffe, ihr helft mir trotzdem nochmal! Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 So 20.01.2008 | | Autor: | Steini |
Hi,
eine Isometrie hat die Eigenschaften, dass die Determinanten bekannt sind.
bei einer eigentlichen Isometrie gilt: det(A)=1 und bei einer uneigentlichen Isometrie gilt: det(A)=-1
Wenn der Typ der Isometrie nicht feststeht, dann gilt also:
det(A)=+-1
Des weiteren gilt bei Isometrien der Abb. [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }, [/mm] dass a²+b²=1 als auch c²+d²=1. Auch gilt: |a|=|d| und |b|=|c|
Ich hoffe, du kannst etwas damit anfangen.
Viel Spaß noch
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 So 20.01.2008 | | Autor: | Steini |
Habe noch vergessen dazu zu schreiben, dass es demnach dann keine Streckung sein kann.
Wenn es eine Streckung wäre, dann wäre es eine k-Isometrie. Eine k-Isometrie hat die Eigenschaft, dass det(A)=+-k²
Wie eben beschrieben.
Als Tipp: Eine uneigentliche Isometrie ist eine Spiegelung an einer Geraden und eine eigentliche Isometrieist eine Drehung.
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 20.01.2008 | | Autor: | trulla |
Aber ich kenn doch die Determinante nicht....
wie bekomm ich dann heraus, obs ne isometrie ist? sorry, steh auf der Leitung....weiß nicht, was du meinst! Muss ich nicht auch noch das t beachten?
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> Aber ich kenn doch die Determinante nicht....
> wie bekomm ich dann heraus, obs ne isometrie ist?
Hallo,
verstehe ich Dich richtig, daß Du es mit ganz kleinen Mitteln zeigen möchtest?
Du hattest eingangs ja selbst geschrieben, daß bei Isometrien
> $ [mm] |\overrightarrow{f(A)f(B)}| [/mm] $ = $ [mm] |\overrightarrow{AB}| \forall A,B\in E^{n} [/mm] $
gilt.
Dann nimm Dir doch zwei Punkte [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] und [mm] \vektor{z \\ t} [/mm] her, und berechne, ob die Länge von [mm] \vektor{z \\ t}-\vektor{x \\ y} [/mm] dieselbe ist, wie die von [mm] f(\vektor{z \\ t})-f(\vektor{x \\ y}). [/mm]
Ich vermute stark, daß auch hierfür die Informationen, die Du über die Koeffizienten bekommen hast, benötigt werden.
(Behaglicher wird die Sache, wenn Du es mit [mm] \vektor{x \\ y}:=\vektor{0 \\ 0} [/mm] für [mm] \vektor{z \\ t}:=e_1, e_1 [/mm] zeigst.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:11 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Steini |
Hi,
aber die Determinante hast du doch gegeben.
bei der Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ c & -a } [/mm] ist die Determinante doch det(A)=-a²-bc
Damit kannst du dann doch mit den gegebenen Sachen testen, ob alles klappt.
Eine andere möglichkeit dies zu testen ist, zu gucken, ob [mm] A^{-1}=A^{T} [/mm] ist.
Viel Spaß dann noch
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