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| Aufgabe | Definition: [mm] $\mathcal{P} \in \mathcal{A}^n$ [/mm] heisst affin unabhängig, falls für jeden affinen Raum [mm] $\mathcal{A}'$ [/mm] über $K$ und jedes Tupel $Q [mm] \in {(\mathcal{A}')}^n$ [/mm] eine affine Abbildung $f: [mm] \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ [/mm] existiert, mit $f [mm] \circ [/mm] P = Q$, d.h. [mm] $f(P_i) [/mm] = [mm] Q_i$ [/mm] für [mm] $i=1,\ldots, [/mm] n$
Ein maximal affines System [mm] $P_i$ [/mm] in [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] heißt auch affine Basis. |
Hi,
obige Defintion bereitet mir Kopfzerbrechen. Lerne gerade für meine mündliche Zwischenprüfung für Lehrämtler und befürchte bei der Frage nach affiner Unabhängigkeit alles zu versauen ;)
Kann mir jemand erklären, was ich mir dadrunter vorzustellen hab.
Im Buch "Analytische Geometrie" von Gerd Fischer steht:
Seien Punkte [mm] $p_0,p_1,\ldots,p_n$ [/mm] eines affinen Raumes X gegeben. Das $(n+1)$-Tupel
[mm] $$(p_0,p_1, \ldots, p_n)$$
[/mm]
heisst affin unabhängig (bzw. affine Basis), wenn das $n$-tupel
[mm] $(\vec{p_0p_1},\vec{p_0p_2},\ldots, \vec{p_0p_n})$ [/mm] in $T(X)$ linear unabhängig (bzw. eine Basis) ist.
Aber daraus erschließt sich mir auch nicht obige Defintion.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Sa 27.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Definition: [mm]\mathcal{P} \in \mathcal{A}^n[/mm] heisst affin
> unabhängig, falls für jeden affinen Raum [mm]\mathcal{A}´[/mm]
> über [mm]K[/mm] und jedes Tupel [mm]Q \in {(\mathcal{A}´)}^n[/mm] eine
> affine Abbildung [mm]f: \mathcal{A} \to \mathcal{A}'[/mm] existiert,
> mit [mm]f \circ P = Q[/mm], d.h. [mm]f(P_i) = Q_i[/mm] für [mm]i=1,\ldots, n[/mm]
> Ein maximal affines System [mm]P_i[/mm] in [mm]\mathcal{A}[/mm] heißt auch
> affine Basis.
Eine affine Abbildung ist eine lineare Abbildung mit zusätzlicher Parallelverschiebung.
f(x)=Bx+t
Ist P linear unabhängig, dann erzeugt es einen n-dimensionalen Unterraum (von [mm] $\mathcal [/mm] A$, der dem affinen Raum selber entspricht, wenn es Basis von [mm] $\mathcal [/mm] A$ ist). Da B und t beliebig sind, kann f also jeden höchstens-n-dimensionalen Unterraum von jedem [mm] $\mathcal [/mm] A'$ erzeugen.
Jedes System Q aus n Punkten liegt in einem maximal n-dimensionalen Unterraum von [mm] $\mathcal [/mm] A'$. Also gibt es entsprechende B und t.
Ist P linear abhängig, können wir entweder Q so wählen, daß es einen höherdimensionalen affinen Unterraum (von [mm] $\mathcal [/mm] A'$) erzeugt (als P von [mm] $\mathcal [/mm] A$), oder falls P den vollen Raum erzeugt, aber trotzdem linear abhängig ist, ist BP+t=Q überbestimmt, und wir können Q und [mm] $\mathcal [/mm] A'$ so wählen, daß das Gleichungssystem keine Lösung hat.
ciao
Stefan
P.S.: Btw., schäm Dich nicht, die Frage wieder auf unbeantwortet zu setzen. Ich habe hier sehr lange an einem Weg gebrütet, mein Argument nicht komplett unverständlich zu formulieren. Und ich weiß nicht, wie erfolgreich ich dabei war.
Die Grundidee ist die: Ist P linear abhängig, gibt es ein Q, so daß f nicht existiert, weil P Dimension m<n hat und wir überzählige [mm] $Q_i$ [/mm] nutzen können, um die lineare Abbildung zu torpedieren.
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Vielen Dank schonmal für die lange Antwort, so ganz klar ist mir das noch nicht geworden, aber der hinweis was affine abhängigkeit heisst, ist schon gut!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 30.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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