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Forum "Uni-Lineare Algebra" - affiner Unterraum (1)
affiner Unterraum (1) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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affiner Unterraum (1): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:33 Mo 19.06.2006
Autor: MasterEd

Aufgabe
Man entscheide, ob es zu jedem affinen Unterraum $S$ von [mm] $K^n$ [/mm] ein lineares Gleichungssystem [mm] $A*\vec{x}=\vec{b}$ [/mm] gibt, so  dass $S$ die Lösungsmenge von [mm] $A*\vec{x}=\vec{b}$ [/mm] ist.

Hallo.

Ich brauche bei dieser Aufgabe mal Eure Hilfe. Habe keine Ahnung wie das gehen soll, auch wenn ich glaube, dass es ansich nicht so schwer ist. Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt.

Vielen Dank!

        
Bezug
affiner Unterraum (1): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:52 Mo 19.06.2006
Autor: mathiash

Hallo Ed,

ok, ich unterstelle aufgrund Deiner Frageformulierung, dass Ihr folgende Definition benutzt: Ein affiner Unterraum von [mm] K^n [/mm] ist eine Menge

[mm] U'\:\: =\:\: U+b=\{u+b|u\in U\}=\{u'\in K^n|u'-b\in U\} [/mm]

für einen Untervektorraum U von [mm] K^n [/mm] und einen Vektor [mm] b\in K^n. [/mm]

Zu zeigen: Es gibt eine Matrix A und einen Vektor c, so dass [mm] U'=\{x|A\cdot x=c\} [/mm]

gilt.

Beweis: Wähle eine ONB (Orthonormalbasis) für [mm] K^n, [/mm] bestehend aus einer ONB für U   [mm] y_1,\ldots [/mm] , [mm] y_j [/mm] und weiteren Vektoren [mm] y_{j+1},\ldots y_n. [/mm]

Dann gilt [mm] x\in [/mm] U genau dann , wenn   [mm] y_{j+1}^T\cdot x=\ldots [/mm] = [mm] y_n^T\cdot [/mm] x=0 gilt.

Schreib die [mm] y_{j+1}^T,\ldots y_n^T [/mm] als Zeilen einer Matrix A, dann ist also [mm] x\in [/mm] U' gdw   [mm] A\cdot [/mm] (x-b)=0 und dies kannst Du in die verlangte Form bringen.

Gruss,

Mathias



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