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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Fr 19.12.2008 | | Autor: | Jorgi |
Hallo,
mich interessiert, ob man zwei wesentlich verschiedene Gruppenstrukturen auf ein und derselben Menge definieren kann. Also gibt es zwei unterschiedliche Verknüpfungen, die auf einer Menge zwei verschieden Gruppen liefern ?
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Kommt drauf an, was Du mit "wesentlich verschieden" meinst.
Drei Stichworte: rationale Zahlen, Addition vs. Multiplikation.
Aber vielleicht verstehe ich ja auch die Frage nicht. Dann sei so nett, sie präziser zu stellen.
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Jorgi |
Aus deinen Stichworten vermute ich, dass du folgendes meinst.
[mm] $(\IQ,+)$ [/mm] ist eine Gruppe, und [mm] $(\IQ\backslash\{0\}, \cdot)$ [/mm] ist Gruppe.
Das Problem hierbei ist, das es sich nicht mehr um die gleiche Menge handelt.
[mm] $(\IQ,\cdot)$ [/mm] kann man nicht zur Gruppe machen, weil 0 kein Inverses hat, und [mm] $(\IQ\backslash\{0\}, [/mm] +)$ kann man nicht zur Gruppe machen weil es kein neutrales Element geben würde.
Um meine Frage zu präzisieren :
Ich starte mit einer Menge G, und möchte zwei verschiedene Verknüpfungen definieren
[mm] $\* [/mm] : G [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G$ und
[mm] $\circ [/mm] : G [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G$
die sich aber unterscheiden sollen, d.h.
$a [mm] \* [/mm] b [mm] \not= [/mm] a [mm] \circ [/mm] b$ und/oder [mm] $e_\*\not= e_\circ$
[/mm]
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ok, damit kann ich etwas anfangen.
sei [mm] \IG= [/mm] {1,2,3,4,5,6}, [mm] a,b,\in\IG
[/mm]
1) G * G: [mm] a*b=ab\mod{7}
[/mm]
2) G [mm] \circ [/mm] G: [mm] a\circ b=a^5b\mod{7}
[/mm]
Grüße,
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Jorgi |
die Verknüpfung [mm] \circ [/mm] liefert leider keine Gruppenstruktur auf G, denn:
1 ist linksneutrales Element, d.h.
[mm] $1\circ [/mm] a = [mm] 1^5\cdot [/mm] a [mm] \mod [/mm] 7 = a [mm] \mod [/mm] 7 = a$ für alle [mm] $a\in [/mm] G$,
jedoch ist 1 nicht rechtsneutral, z.b.
[mm] $4\circ [/mm] 1 = [mm] 4^5 \cdot [/mm] 1 [mm] \mod [/mm] 7 = [mm] 4^5 \mod [/mm] 7 = 2$
In Gruppen gilt aber immer linksneutrales Element ist auch rechtneutrales Element
Hmmm .. weiß jemand Rat ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Merle23 |
> die Verknüpfung [mm]\circ[/mm] liefert leider keine Gruppenstruktur auf G, denn:
>
> 1 ist linksneutrales Element, d.h. [mm]1\circ a = 1^5\cdot a \mod 7 = a \mod 7 = a[/mm] für alle [mm]a\in G[/mm],
>
> jedoch ist 1 nicht rechtsneutral, z.b. [mm]4\circ 1 = 4^5 \cdot 1 \mod 7 = 4^5 \mod 7 = 2[/mm]
>
> In Gruppen gilt aber immer linksneutrales Element ist auch rechtneutrales Element
>
> Hmmm .. weiß jemand Rat ?
Um auf dieses Problem zu antworten:
In den Gruppenaxiomen ist das neutrale Element immer nur als links- (bzw. recht-) neutrales Element definiert.
Aus den Axiomen heraus kann man dann aber folgern, dass es auch ein recht- (bzw. links-) neutrales ist.
Man braucht also nur eins nachprüfen (also entweder Links- oder Rechtsneutralität) und das andere folgt dann automatisch.
Was in diesem konkreten Beispiel nicht hinhaut, ist, dass die Verknüpfung nicht assoziativ ist (zumindest glaube ich das, so vom bloßen Draufschauen), wodurch man den Beweis, dass ein linksneutrales Element auch ein rechtneutrales Element ist, nicht führen kann, wodurch wir hier wirklich den Fall haben, dass es ein linksneutrales aber kein rechtsneutrales ist.
Aber es ist ja eh keine Gruppe, da es nicht assoziativ ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Sa 20.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
Eine kleine Anmerkung:
> In den Gruppenaxiomen ist das neutrale Element immer nur
> als links- (bzw. recht-) neutrales Element definiert.
Also das immer bezweifle ich stark :) Das macht eigentlich jeder so wie es ihm gefaellt...
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Sa 20.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> mich interessiert, ob man zwei wesentlich verschiedene
> Gruppenstrukturen auf ein und derselben Menge definieren
> kann. Also gibt es zwei unterschiedliche Verknüpfungen, die
> auf einer Menge zwei verschieden Gruppen liefern ?
Schau dir die Menge $M = [mm] \{ a, b \}$ [/mm] an mit zwei Elementen. Sobald du dir ein Element $x [mm] \in [/mm] M$ herauspickst und mit $y$ das andere bezeichnest (also $M = [mm] \{ x, y \}$), [/mm] so gibt es genau eine Gruppenstruktur auf $M$ mit $x$ als neutralem Element: naemlich die durch $x + x = x = y + y$, $x + y = y + x = y$ gegebene.
Damit erhaelst du zwei verschiedene Gruppenstrukturen auf $M$.
Du kannst jetzt natuerlich sagen: gibt es die Moeglichkeit, zwei verschiedene Gruppenstkuturen mit dem gleichen neutralen Element zu finden? Ja, nimm dir eine Menge mit vier Elementen und einem herausgestellten Element: darauf kannst du einmal eine zyklische Gruppenstruktur definieren mit dem herausgestellten Element als neutralem Element, und du kannst eine zu [mm] $\IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ$ [/mm] isomorphe Gruppenstruktur definieren mit genau dem gleichen neutralen Element. Diese beiden Gruppenstrukturen sind nicht einmal isomorph.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 So 21.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo,
wo's mir gerade einfaellt:
man kann sich zu einer endlichen Menge mit $n$ Elementen fragen, auf wieviele Art und Weisen man sie zu einer zyklischen Gruppe machen kann.
Hat man eine zyklische Gruppenstruktur auf einer endlichen Menge $M$, so kann man eine andere erhalten indem man eine Permutation auf $M$ anwendet; davon gibt es $n!$ Stueck, wenn $|M| = n$ ist.
Manche dieser Permutationen liefern allerdings die gleiche Gruppenstruktur, und zwar dann wenn die Permutation gerade ein Automorphismus ist.
Die Anzahl der Automorphismen ist allerdings gegeben durch die Anzahl der invertierbaren Elemente in [mm] $(\IZ/n\IZ)^\ast$, [/mm] und diese wiederum durch die Eulersche [mm] $\phi$-Funktion. [/mm] Da nun [mm] $\phi(n) [/mm] < n$ ist fuer alle $n > 1$, gibt es zu jeder endlichen Menge $M$ mit $n [mm] \ge [/mm] 2$ Elementen [mm] $\frac{n!}{\phi(n)} \ge \frac{n!}{n - 1} [/mm] = n (n - 2) (n - 3) (n - 4) [mm] \cdots [/mm] 1 [mm] \ge [/mm] n$ verschiedene Moeglichkeiten, aus ihr eine zyklische Gruppe zu machen.
Insbesondere wenn $M$ eine Menge mit $n$ Elementen ist, gibt es immer mindestens $n$ verschiedene Gruppenstrkuturen auf $M$.
LG Felix
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