algb. u. geo. Vielfacheit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix A, sowie deren algebraischeund geometrische Vielfacheit.
A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\1 & -3 & 3 }
[/mm]
Hinweis Es ist nicht nach Eigenvektoren gefragt! |
Guten Abend Leute,
hierbei habe ich probleme bei den Vielfachheiten. Erstmal zu den Eigenwerten:
[mm] det(A-\lambda*E)= \pmat{ -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\1 & -3 & 3-\lambda }
[/mm]
Darraus Folgt die Sarrusregel: [mm] \vmat{ -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\1 & -3 & 3-\lambda }\vmat{ -\lambda & 1 \\ 0 & -\lambda \\ 1 & -3}
[/mm]
[mm] 0=\lambda^2(3-\lambda)+1+0-0-3\lambda-0 [/mm] [<--ist das so richtig formuliert und gleich gesetzt? oder bekäme ich da punktabzüge?]
[mm] \lambda1=3 [/mm] --> [mm] (0=3-\lambda)
[/mm]
[mm] 0=\lambda^2-3\lambda+1
[/mm]
p-q-formel:
[mm] \lambda2/3=-(-3/2)+-\wurzel{(3/2)^2-1 }
[/mm]
[mm] \lambda2= (3+\wurzel{5})/2
[/mm]
[mm] \lambda3= (3-\wurzel{5})/2
[/mm]
tja so weit komme ich. Ich meine zu wissen, dass die algb. Vielfachheit 1 ist weil die Ew alle verschieden sind. Mit der geo. kann ich nicht viel anfangen. Und kann man diese begrüngung auch so in eienr Klausur schreiben oder gibt es eine eine rechnerische Lösung dafür die hier gefragt sein könnte?
danke für eure hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
> so weit komme ich. Ich meine zu wissen, dass die algb.
> Vielfachheit 1 ist weil die Ew alle verschieden sind. Mit
> der geo. kann ich nicht viel anfangen. Und kann man diese
> begrüngung auch so in eienr Klausur schreiben oder gibt es
> eine eine rechnerische Lösung dafür die hier gefragt sein
> könnte?
Für dein Problem gibt es eine einfache Lösung: Schlage doch einfach die Definitionen von "algebraischer" und "geometrischer" Vielfachheit nach!
LG, Alex
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Du hast es dir jzt aber ziemlich einfach gemacht. Die definitionen sind mir bekannt: "Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes ist einfach Anzahl des Auftauchen des Eigenwertes." oder die hier:"Der Eigenwert [mm] \alpha [/mm] hat die algebraische Vielfachheit k wenn das characteristische Polynom der quadratischen Matrix die k-Fache Nullstelle [mm] \alpha [/mm] hat also k mal durch [mm] (\lambda [/mm] - [mm] \alpha)teilbar [/mm] ist.Um also die algebraische Vielfachheit zu bekommen brauchst Du erstmal das char. Polynom."
Wirft bei mir leider noch mehr fragen auf.
"Die geometrische Vielfachheit ist die Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren." ---> "siehe Aufgabenstellung: "es ist nciht nach den eigenvektoren gefragt!" Deshalb die Frage hier wie komme ich auf die geo. vielfachheit.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:24 Fr 26.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
> Du hast es dir jzt aber ziemlich einfach gemacht. Die
> definitionen sind mir bekannt: "Die algebraische
> Vielfachheit eines Eigenwertes ist einfach Anzahl des
> Auftauchen des Eigenwertes." oder die hier:"Der Eigenwert
> [mm]\alpha[/mm] hat die algebraische Vielfachheit k wenn das
> characteristische Polynom der quadratischen Matrix die
> k-Fache Nullstelle [mm]\alpha[/mm] hat also k mal durch [mm](\lambda[/mm] -
> [mm]\alpha)teilbar[/mm] ist.Um also die algebraische Vielfachheit zu
> bekommen brauchst Du erstmal das char. Polynom."
>
> Wirft bei mir leider noch mehr fragen auf.
Du hast sowohl das charakteristische Polynom als auch die Nullstellen davon bestimmt. Was hält dich jetzt davon ab die alg. Vielfachheit zu bestimmen? Du kannst doch jetzt das "k" aus deiner Definition für jeden Eigenwert bestimme.
> "Die geometrische Vielfachheit ist die Anzahl der linear
> unabhängigen Eigenvektoren." ---> "siehe Aufgabenstellung:
> "es ist nciht nach den eigenvektoren gefragt!" Deshalb die
> Frage hier wie komme ich auf die geo. vielfachheit.
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander.
LG, Alex
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Ok ich wusste nicht das ich das char. polynom berechnet habe. Sieht es so aus? : 0= [mm] \lambda(\lambda- 3+\wurzel{5})(\lambda-3-\wurzel{5})
[/mm]
Aber ist es nicht richtig zu sagen, dass die algb. vielf. 1 ist, da jeder eigenwert nur einmal auftaucht?
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht aufeinander
das sagt mir jetzt garnichts.Ich wollte wissen, wie ich die geo. vielf. bestimme ohne EV zu berechnen wie die aufgabe verlangt. Hat das etwas mit der Determinante zu tun?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Sa 27.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die gl. die du jetz hingeschrieben hast hat [mm] \lambda=0 [/mm] als Lösung, ist also falsch.
Deine eigenwerte sind nach meiner Meinung falsch .
wieso ist dein Polynom 0 wenn [mm] \lambda-3=0
[/mm]
Du hast verschiedene EW, wenn die senkrecht aufeinander stehen können sie dann lin. abh. sein?
Gruss leduart
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OK sind die [mm] \lambda [/mm] aus der ersten frage dieser Diskussion richtig? [mm] \lambda2= (3+\wurzel{5})/2 [/mm]
[mm] \lambda3= (3-\wurzel{5})/2
[/mm]
Wenn ich was falsche dann wäre es sehr nett wenn man mir sagen würde wie ich es korrigieren kann. Als ich die diskussion angefangen habe hat keiner was gegen meine [mm] \lambda [/mm] in der ersten frage gesagt. Und das hilft mir leider immernoch nciht bei meiner Frage ob die algb. Vielfachheit 1 ist mit der begründung, das alle EW einmal vorkommen.
MfG Etechproblem
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Sa 27.03.2010 | | Autor: | Fawkes |
Hi,
fangen wir am besten bei deiner Ausgangsfrage und der damit verbundenden Lösung noch einmal an.
Was mir zu deiner Determinate aufgefallen ist, so möchtest du die mit der Sarrus-Regel lösen, was ja auch total korrekt ist. Jedoch reicht es hierfür völlig nur die Determinante hinzuschrieben und nicht noch diese andere Hilfsdeterminante hinzuschreiben, da es so wie du es geschrieben hast formal einfach nicht korrekt ist und zu Punktabzügen führen würde. Auch müsstest du formal in deiner ersten Gleichung vor der Matrix noch det (also Determinante) schreiben. Folgendes würde dann also da stehen:
[mm] P(\lambda)=det(A-\lambda*E)= det\pmat{ -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\1 & -3 & 3-\lambda }=\vmat{ -\lambda & 1 & 0 \\ 0 & -\lambda & 1 \\1 & -3 & 3-\lambda }=\lambda^2(3-\lambda)+1+0-0-3\lambda-0=\lambda^2(3-\lambda)+1-3\lambda=-\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1
[/mm]
Das ist also nun dein char. Polynom.
Für die Bestimmung der Eigenwerte gilt:
[mm] P(\lambda)=0
[/mm]
[mm] \gdw -\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1=0
[/mm]
Das diese Gleichung für [mm] \lambda=0 [/mm] nicht erfüllt ist, zeigt sich denke ich von selbst: [mm] P(0)=0+0-0+1=1\not=0
[/mm]
Versuche also mal eine andere Nullstelle des Polynoms zu raten und versuchs am besten mal mit 1 oder -1, dann mache Polynomdivision und danach schauen wir uns deine alg. und geo. Vielfachheit an.
Gruß Fawkes
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Wow danke erstmal für deine sehr hilfreiche Antwort.
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Ich habe jzt die polynom division benutzt und das hier rausbekommen : [mm] -\lambda^2+2\lambda-1 [/mm] Hier muss ich noch mit (-1) multiplizieren damit vor dem [mm] \lambda^2 [/mm] + steht
Dann benutze ich die p-q-formel: [mm] \lambda2/3= -(-2/2)+-\wurzel{(-2/2)^2-1}
[/mm]
[mm] \lambda2= 1+\wurzel{0}
[/mm]
[mm] \lambda3= 1-\wurzel{0} [/mm]
ist das so formel und rechnerisch richtig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Sa 27.03.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das ist soweit okay.
Schreib jetzt das Polynom aber noch faktorisiert auf.
Alternativ hätte man auch bei der Form
[mm] -\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1
[/mm]
direkt umformen können.
[mm] -\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1
[/mm]
[mm] =-\left(\lambda^3-3\lambda^2+3\lambda-1\right)
[/mm]
[mm] =-\left((\lambda-1)^{3}\right)
[/mm]
[mm] =-(\lambda-1)^{3}
[/mm]
Das erkennt man, wenn man ein bisschen schärfer hinschaut, und an den binomischen Lehrsatz (und das pascalsche Dreieck) denkt.
Marius
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Danke erstmal. Ich habe, wenn ich mich nicht irre, 3 Eigenwerte die 1, 1 und -1 lauten d.h meine algebraische vielfachheit ist 2? wie komme ich jzt auf die geom. ohne EV zu bestimmen?
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Moin,
du hast als Eigenwert 1, 1 und 1 ausgerechnet und da noch ein Minus hingezaubert.
Der Eigenwert 1 hat also eine algeb. Vielfachheit von 3.
Und bist du dir sicher, dass der Hinweis dir verbietet die Eigenvektoren zu berechnen? Der Hinweis sagt doch nur, dass sie nicht die Lösung sind, aber warum sollten sie denn nicht ein Teil deines Lösungsweges sein?
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Wenn man das so betrachtet ist es logisch ja:)
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> Danke erstmal. Ich habe, wenn ich mich nicht irre, 3
> Eigenwerte die 1, 1 und -1 lauten d.h meine algebraische
> vielfachheit ist 2? wie komme ich jzt auf die geom. ohne EV
> zu bestimmen?
Hallo,
die von Dir ausgerechneten Eigenwerte sollten 1,1,1 sein.
Das charakteristische Polynom [mm] \Chi_A(x)=(x-1)^3, [/mm] und damit ist 3 die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 1.
Da die geometrische Vielfachheit die Dimension des Eigenraumes ist, wäre dieselbige nun zu berechnen, was man tut, indem man eine Basis des Eigenraumes berechnet - also den Kern von [mm] A-1*E_3 [/mm] bestimmt.
Wären (!) die Eigenwerte 1,1,-1, so wäre [mm] \Chi_A(x)=(x-1)^2(x+1), [/mm] und es hätte der EIgenwert 1 die algebraische Vielfachheit 2, der Eigenwert -1 die algebraische Vielfachheit 1.
Hier könnte es nicht anders sein, als daß die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes -1 ebenfalls 1 ist, die vom Eigenwert 1 wäre wiederum zu berechnen.
Gruß v. Angela
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Ich habe mal in disem Forum nach den Dimensionen des Eigenraums gesucht.
Muss ich also A=$ [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 } [/mm] $ [mm] *\vektor{x \\ y\\z} [/mm] berechnen ?
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> Ich habe mal in disem Forum nach den
> Dimensionen des Eigenraums
> gesucht.
> Muss ich also A=[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & 3 }[/mm]
> [mm]*\vektor{x \\ y\\z}[/mm] berechnen ?
Hallo,
nein.
Überleg doch mal, was Du suchst:
die Lösungsmenge von Ax=1*x
<==> Ax-x=0
<==> Ax-E_3x=0
<==> [mm] (A-E_3)x=0.
[/mm]
Damit sind wir bei dem, was ich schon sagte: der Kern von [mm] A-3E_3 [/mm] ist zu berechnen, also der Kern von [mm] \pmat{ 0-1 & 1 & 0 \\ 0 & 0-1 & 1 \\ 1 & -3 & 3-1 }
[/mm]
Gruß v. Angela
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Damit sind wir bei dem, was ich schon sagte: der Kern von $ [mm] A-3E_3 [/mm] $ ist zu berechnen, also der Kern von $ [mm] \pmat{ 0-1 & 1 & 0 \\ 0 & 0-1 & 1 \\ 1 & -3 & 3-1 } [/mm] $
Wenn ich gewusst hätte, dass und wie ich einen Kern zu berechnen habe, hätte ich ja nicht im Forum danach gesucht. Ich geh jzt davon aus das ich ein LGS aufstellen muss.
$ [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 2 } [/mm] $
3.Zeile+1. Zeile
3. Zeile-2*2.Zeile
$ [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $
tja und die lösungen sind 0.
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> Damit sind wir bei dem, was ich schon sagte: der Kern von
> [mm]A-1*E_3[/mm] ist zu berechnen, also der Kern von [mm]\pmat{ 0-1 & 1 & 0 \\ 0 & 0-1 & 1 \\ 1 & -3 & 3-1 }[/mm]
>
> Wenn ich gewusst hätte, dass und wie ich einen Kern zu
> berechnen habe, hätte ich ja nicht im Forum danach
> gesucht.
Hallo,
Du hast leider nicht sehr deutlich kommuniziert, daß Du nicht weißt, wie man den Kern einer Matrix berechnet.
(Es gibt im Forum übrigens eine Fülle von Aufgaben, die sich damit beschäftigen.)
> Ich geh jzt davon aus das ich ein LGS aufstellen
> muss.
Ja, es ist die Lösung eines homogenen LGS zu bestimmen.
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 2 }[/mm] 3.Zeile+1.
> Zeile
> 3. Zeile-2*2.Zeile
> tja und die lösungen sind 0.
> [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
Nein, die Lösungen sind nicht 0 - was auch immer Du im einzelnen damit meinst.
Du hast die Matrix richtig auf Zeilenstufenform gebracht.
Die führenden Elemente der Nichtnullzeilen stehen in Spalte 1 und 2, also kann man die dritte Variable frei wählen:
[mm] x_3=t.
[/mm]
Aus der 2.Zeile erfahren wir [mm] -x_2+x_3=0, [/mm] also
[mm] x_2=t,
[/mm]
und aus der 1.Zeile [mm] -x_1+x_2=0, [/mm] also
[mm] x_1=t.
[/mm]
Damit haben alle Elemente des Kerns die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{t\\t\\t}=t*\vektor{1\\1\\1}.
[/mm]
Also ist [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] eine Basis von [mm] Kern(A-1*E_3), [/mm] dh. eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 1.
Somit ist1 die geometrische Vielfachheit dieses Eigenwertes.
Gruß v. Angela
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Danke für die Hilfe. Habs jetzt verstanden.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:39 Sa 27.03.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Alex,
> Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen senkrecht
> aufeinander.
Das gilt nur für symmetrische Matrizen (was hier nicht der Fall ist).
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:41 Sa 27.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
Hast Recht... die Abbildung von der die Eigenwerte kommen darf nicht beliebig sein. Habe ich übersehen.
LG, Alex
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