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Forum "Algebra und Zahlentheorie" - algebraisch abgeschlossen
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algebraisch abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:33 Di 01.04.2008
Autor: SusanneK

Aufgabe
Beweisen Sie, dass ein Körper K mit endlich vielen Elementen niemals algebraisch abgeschlossen ist.

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Algebraisch abgeschlossen bedeutet, dass jedes Polynom in K in Linearfaktoren zerfällt.
Ich muss also zeigen, dass es Polynome in K gibt, die irreduzibel sind und nicht von der Form T+a sind.

Leider habe ich keinen Ansatz ... Wie gehe ich das an ?

Danke, Susanne.

        
Bezug
algebraisch abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:45 Di 01.04.2008
Autor: angela.h.b.


> Beweisen Sie, dass ein Körper K mit endlich vielen
> Elementen niemals algebraisch abgeschlossen ist.
>  Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  
> Algebraisch abgeschlossen bedeutet, dass jedes Polynom in K
> in Linearfaktoren zerfällt.
>  Ich muss also zeigen, dass es Polynome in K gibt, die
> irreduzibel sind und nicht von der Form T+a sind.
>  
> Leider habe ich keinen Ansatz ... Wie gehe ich das an ?

Hallo,

ich würd's so machen:

Sei [mm] K=\{0,1, k_3, ..., k_n\} [/mm]

Nun zeigen, daß das Polynom p(x)= 1 + [mm] x(x-1)(x-k_3)*...*(x-k_n) [/mm]  keine Nullstelle in K hat.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
algebraisch abgeschlossen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 Di 01.04.2008
Autor: SusanneK

Guten Morgen Angela,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !

> ich würd's so machen:
>  
> Sei [mm]K=\{0,1, k_3, ..., k_n\}[/mm]
>  
> Nun zeigen, daß das Polynom p(x)= 1 +
> [mm]x(x-1)(x-k_3)*...*(x-k_n)[/mm]  keine Nullstelle in K hat.

Für n=3 wäre [mm] p(x)=1+x^3-k_3x^2-x^2+k_3x [/mm], d.h. das ist die allg.Darstellung für ein Polynom 3.Grades.
Da 1 immer übrig bleibt gibt es keine Nullstelle.

Der Zusammenhang war mir noch nicht so klar: Keine Nullstelle, kein Linearfaktor.
Stimmt das so ?

VIELEN DANK !
Lg, Susanne.


Bezug
                        
Bezug
algebraisch abgeschlossen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:32 Di 01.04.2008
Autor: angela.h.b.


>  Da 1 immer übrig bleibt gibt es keine Nullstelle.
>  
> Der Zusammenhang war mir noch nicht so klar: Keine
> Nullstelle, kein Linearfaktor.
>  Stimmt das so ?

Hallo,

ja, Du hast es mit Polynomen über einem Körper zu tun, und wenn Du heir eine Nullstelle bei [mm] \alpha [/mm] hast, kannst Du den Linearfaktor [mm] (x-\alpha) [/mm] abspalten.

(In meinem LA Skript war das 11.4.11 (b), aber ich vermute, daß Ihr inzwischen ein anderes habt.)

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
algebraisch abgeschlossen: Danke !
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:38 Di 01.04.2008
Autor: SusanneK

Liebe Angela,
VIELEN VIELEN DANK !

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