algebraische Körpererweiterung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Fr 01.02.2013 | | Autor: | johnny23 |
| Aufgabe | Sei L/K eine Körpererweiterung.
a) Sei [mm] \alpha \in [/mm] L algebraisch über K mit Minimalpolynom f [mm] \in [/mm] K[X]. Zeigen Sie: [mm] [K[\alpha]:K]=deg(f).
[/mm]
b) Zeigen Sie, dass zwei Elemente [mm] \alpha, \beta \in [/mm] L genau dann algebraisch sind, wenn [mm] \alpha+\beta [/mm] und [mm] \alpha*\beta [/mm] algebraisch über K sind. |
Liebes Forum,
ich versuche diese Aufgabe zu lösen und habe noch Probleme mit den neu eingeführten Begriffen. [mm] \alpha [/mm] algebraisch bedeutet, dass [mm] f(\alpha)=0. [/mm] Weiter stelle ich mir das so vor, dass die Elemente von [mm] K[\alpha] [/mm] alle möglichen Polynome mit Koeffizienten aus K sind und weil [mm] \alpha [/mm] algebraisch ist, ist auch ein Polynom f mit [mm] f(\alpha)=0 [/mm] mit drin. Was bedeutet denn [mm] [K[\alpha]:K] [/mm] ? Ich kenne die Definition [L:K] als Dimension des K-Vektorraums L heißt Grad der Erweiterung. Wie kann ich mir das vorstellen? Wie kann ich mir eine Basis vorstellen? Also ich habe da noch meine Schwierigkeiten wie man sieht und freue mich über jede Hilfe!
|
|
| |
|
Hallo,
zu a)
Wenn a [mm] \in [/mm] L algebraisch über K, und [mm] f\in [/mm] K[X] minpol von a ist, dh. f ist insb. irreduzibel, so ist K[X]/(f) ein Körper und [mm] K[X]/(f)\cong [/mm] K[a]=K(a).
Es ist [mm] K(a)=\{x+ay:x,y \in K \}.
[/mm]
Nun sei [mm] \overline{g}\in [/mm] K[X]/(f), dh. [mm] \overline{g}=g+(f) [/mm] für ein [mm] g\in [/mm] K[X] bzw.
[mm] \overline{g}=g+rf, r\in [/mm] K[X]. K[X] ist ein euklidischer Ring, für [mm] g\not= [/mm] 0 ist deg(g)<deg(f). D.h. [mm] K[X]/(f)=\{g \in K[X] : g=0 , deg(g)
[mm] [K[a]:K]=[K[X]/(f):K]=dim_{K}K[a]=dim_{K}K[X]/(f).
[/mm]
zu b)da kann man nur eine Richtung zeigen, als genau-dann-wenn-Aussage ist das falsch: 0=exp(1)-exp(1) ist algebraisch über K, zb [mm] K=\IQ, [/mm] aber a=exp(1) und b=-exp(1) sind nicht algebraisch über K. Es gilt nur eine Richtung.
Gruß
|
|
|
|
