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| Aufgabe | Sei R ein faktorieller Ring. Zeigen Sie, dass der algebraische
Abschluss von R im Quotientenkörper Quot(R) gleich R ist |
Hallo Leute,
mit dem Begriff des algebraischen Abschlusses habe ich so meine Probleme. Zwar kann ich mir die Begriffe hier einzelnd erklären, weiß aber iwie nicht, wie ich sie zusammenbringen soll/kann.
Habt ihr evtl Tipps, wie ich an diese Aufgabe rangehen kann?!
Liebe Grüße
Sabine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Di 24.11.2009 | | Autor: | andreas |
hi,
kann es ein, dass du den ganzen abschluss meinst? oder wie sind bei euch algebraische elemente (über einem ring) definiert? meist definiert man algebraische element nur über körpern.
ich vermute mal, dass bei euch "algebraische" element über einem ring eine polynomielle gleichung mit leitkoeffizient $1$ erfüllen müssen? dann kann man so vorgehen:
sei $x= [mm] \frac{a}{b}$ [/mm] im algebraischen abschluss von $R$ in [mm] $\textrm{Quot}(R)$ [/mm] mit (oBda) $a$ und $b$ teilerfremd. da $x$ "algebraisch" (im quotientenkörper von $R$) ist erfüllt es eine gleichung [mm] $x^n [/mm] + [mm] a_{n - 1}x^{n-1} [/mm] + ... + a_1x + [mm] a_0 [/mm] = 0$. setze nun die bruchdarstellung von $x$ ein um zu zeigen, dass $b [mm] \mid a^n$. [/mm] was kann man damit folgern, was zu einem widerspruch führt?
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:34 Di 24.11.2009 | | Autor: | Sabine_B. |
Hey Andreas,
vielen Dank für deine schnelle Antwort 
aber du hast recht, genauso sind algebraische elemente definiert - mit deiner erklärung komme ich jetzt auch weiter.
Viele Grüße
Sabine
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