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Forum "Uni-Analysis" - alle Punkte des R^3
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alle Punkte des R^3: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Mi 29.06.2005
Autor: Maiko

Hallo!

Habe mal ne Frage:

Gesucht sind alle Punkte P(x,y,z) des [mm] R^3, [/mm] für welchen gilt:

f) |x| + |y| + |z| <= 1

Wie gehe ich hier ran? Wie lautet das Ergebnis?

Konnte leider keine passende Lösung in meinem Formelwerk für höhere Mathematik (Merziger) für Flächen zweiter Ordnung finden.

        
Bezug
alle Punkte des R^3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Mi 29.06.2005
Autor: Paulus

Hallo,

> Hallo!
>  
> Habe mal ne Frage:
>  
> Gesucht sind alle Punkte P(x,y,z) des [mm]R^3,[/mm] für welchen
> gilt:
>  
> f) |x| + |y| + |z| <= 1
>  
> Wie gehe ich hier ran? Wie lautet das Ergebnis?
>  

Du musst nur noch mal die Bedeutung der Betragsstriche überlegen.

In dem Oktanten, wo sowohl x als auch y und z grösser als Null sind, lautet die Gleichung:

$x + y + z [mm] \le [/mm] 1$

$x + y + z =1_ $ ist ja eine Ebenengleichung, und die Punkte liegen näher zum Ursprung hin (aber immer für diesen Oktanten beschränkt)

In dem Oktanten, wo x und z grösser als Null sind, hingegen y kleiner als Null, lautet die Gleichung:

$x - y + z [mm] \le [/mm] 1$

$x - y + z =1_ $ ist ja eine Ebenengleichung, und die Punkte liegen näher zum Ursprung hin (aber immer für diesen Oktanten beschränkt)

Wenn du so alle 8 Oktanten betrachtest (du musst natürlich nicht alle schriftlich durchgehen), dann wirst du wohl unschwer feststellen, dass deine Punktmenge ein Oktaeder bildet.

Viele Grüsse

Paul


Bezug
                
Bezug
alle Punkte des R^3: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:09 Sa 02.07.2005
Autor: Maiko

Ok, danke.
Das ganze ist klar.

Hätte nur noch eine kleine Frage.
Es treten ja acht Fälle für die acht Oktanten auf, in welchen jeweils gilt:

x > v < 0 ; y > v < 0 ; z > v < 0

In einem Oktanten muss doch aber

x > = 0; y >= 0 ; z >= 0

gelten oder? Die Koordinantenachsen müssen also in einem Fall mit einbezogen werden?

Dann würde eine Gleichung einen Tetraeder darstellen oder sehe ich da was falsch?

Bezug
                        
Bezug
alle Punkte des R^3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:52 Sa 02.07.2005
Autor: SEcki


> In einem Oktanten muss doch aber
> x > = 0; y >= 0 ; z >= 0

Ja, das stimmt.

> Die Koordinantenachsen müssen also in einem
> Fall mit einbezogen werden?

Hm? Die begrzenzenden Ebenen in jedem Oktanten schneiden die Koordinatenachsen - überall!

> Dann würde eine Gleichung einen Tetraeder darstellen oder
> sehe ich da was falsch?

Richtig! in jedem Oktanden erhälst du einen Teraeder - hier auch Simplex genannt. Den kannst du dann in alle weiteren Oktanten kongruent abbilden - und der Oktaeder besteht somit aus 8 kongruenten Teraeder. Kannst dir ja mal einen basteln - oder aber löse das in Dimension 2 - dann erhälst du ein gedrehtes Quadrat, das in jedem Quadranten - ein Dreick ist. (Wieder ein 2-dim Simplex ...)

SEcki

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