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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Mi 17.11.2004 | | Autor: | iKai |
Ich habe diese Aufgabe auf keinem anderen Forum gestellt.
Sei V ein Vektorraum der Dimension n, [mm] U_{1},...,U_{l} [/mm] eine Kette von Unterräumen mit
0 [mm] \subset U_{1} \subset U_{2} [/mm] ... [mm] \subset U_{l} \subset [/mm] V
wobei [mm] U_{i} \not= U_{i+1} [/mm] für alle i gelte. Zeigen Sie, dass dann l < n gilt.
ich weiß für die Kette gilt hier: 0 [mm] \subset u_{1} \subset u_{2} \subset [/mm] ... [mm] \subset u_{l} \subset [/mm] U
und für die dimensionen gilt
dim 0 [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \ge [/mm] 2 ... [mm] \ge [/mm] l für n
ich müsste also beweisen, da dim [mm] u_{i} \ge [/mm] i ist
sofern meine Überlegungen richtig waren... und wie stell ich das nun an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin Kai,
Ich denke du hast erstmal [mm] \ge [/mm] mit [mm] \le [/mm] verwechselt oder? Sonst würde
> Ich habe diese Aufgabe auf keinem anderen Forum gestellt.
>
> Sei V ein Vektorraum der Dimension n, [mm]U_{1},...,U_{l}[/mm] eine
> Kette von Unterräumen mit
> 0 [mm]\subset U_{1} \subset U_{2}[/mm] ... [mm]\subset U_{l} \subset[/mm] V
> wobei [mm]U_{i} \not= U_{i+1}[/mm] für alle i gelte. Zeigen Sie,
> dass dann l < n gilt.
>
> ich weiß für die Kette gilt hier: 0 [mm]\subset u_{1} \subset u_{2} \subset[/mm]
> ... [mm]\subset u_{l} \subset[/mm] U
> und für die dimensionen gilt
DIESE ZEILE
>dim 0 [mm]\ge[/mm] 1 [mm]\ge[/mm] 2 ... [mm]\ge[/mm] l für n
gar keinen Sinn machen.
>
> ich müsste also beweisen, da dim [mm]u_{i} \ge[/mm] i ist
Wenn du die Zeichen verdreht hast brauchst du, dass nicht zu zeigen, weil das die Vorraussetzung einer Kette(totale Ordnungsrelation) ist.
> sofern meine Überlegungen richtig waren... und wie stell
> ich das nun an?
>
Ne Freundin von mir hat auch gemeint sie solle das mit Induktion machen aber eigentlich muß man nur die Definitionen richtig auslegen:
Da [mm] U_l \subset V_n [/mm] in einer Kette steht und die Indizes man gleich der Dimension setzen kann, folgt aus der Definition der Kette, dass l maximal n-1 sein kann. Dieses nehmen wir mal o.B.d.A. an dann folgt die Ungleichung l=n-1<n q.e.d.
Das mit der Induktion kriegst du ja dann im Tut gezeigt. BTW bei welchem Tutor bist du denn?
Gruß Shaguar
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