allgemeine Lösung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Fr 10.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
| Aufgabe | Bestimmen sie die allgemeine Lösung von y'+y=x
Geben Sie zusätzlich diejenige Lösung y(x) an, für die y(0)=1 gilt. |
Hey, komme bei dieser aufgabe nicht weiter...
Habe als homogene Lösung y_hom= [mm] sqrt(x^2+2c)
[/mm]
Bzw [mm] y_hom=sqrt(x^2+k) [/mm] mit k=2c
Ist das richtig? Komme dann bei dem ansatz der partikulären lösung nicht weiter das wäre ja [mm] y(x)=sqrt(x^2+k(x))
[/mm]
Also [mm] y'(sqrt(x^2+k(x))) [/mm]
Aber was ist das? Kommt mir alles etwas spanisch vor...
Mfg sören
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Sören und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bestimmen sie die allgemeine Lösung von y'+y=x
> Geben Sie zusätzlich diejenige Lösung y(x) an, für die
> y(0)=1 gilt.
> Hey, komme bei dieser aufgabe nicht weiter...
> Habe als homogene Lösung y_hom= [mm]sqrt(x^2+2c)[/mm]
> Bzw [mm]y_hom=sqrt(x^2+k)[/mm] mit k=2c
> Ist das richtig?
Nein, das ist sehr falsch ...
Zeige mal deine Rechnung dazu!
Die homogene Dgl lautet doch $y'=-y$ - und das ist eine trennbare Dgl ...
> Komme dann bei dem ansatz der
> partikulären lösung nicht weiter das wäre ja
> [mm]y(x)=sqrt(x^2+k(x))[/mm]
> Also [mm]y'(sqrt(x^2+k(x)))[/mm]
> Aber was ist das? Kommt mir alles etwas spanisch vor...
Das liegt an der falschen homogenen Lösung!
> Mfg sören
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Fr 10.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
Als erstes habe ich als homogene Lösungsansatz
y'=dy/dx
Das eingesetzt ergibt
Dy/dx +y=x
=> y= x× dx/dy
Sehe gradedas da ein fehler ist...
Also folgt hier
y+dy=x dx?
Jetzt weiß ich hier aber nicht weiter ist y+dy das gleiche wie y dy? Wie integriere ich das?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Als erstes habe ich als homogene Lösungsansatz
> y'=dy/dx
> Das eingesetzt ergibt
> Dy/dx +y=x
???
Die Dgl lautet doch [mm]y'=-y+x[/mm]
Die zugeh. homogene Dgl. [mm]y'=-y[/mm]
Also [mm]\frac{1}{y} \ dy \ = \ -1 \ dx[/mm] für [mm]y\not\equiv 0[/mm]
Nun beiderseits integrieren.
Danach bestimme eine partikuläre Lösung durch VdK ....
> => y= x× dx/dy
> Sehe gradedas da ein fehler ist...
> Also folgt hier
> y+dy=x dx?
> Jetzt weiß ich hier aber nicht weiter ist y+dy das
> gleiche wie y dy? Wie integriere ich das?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Fr 10.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
jetzt verstehe ich grade gar nichts mehr-.-
laut unserem Prof sollen wir zur bestimmung der homogenen Diffgl. y´mit dy/dx ersetzen und quasi Seperationsmethode anwenden ist das falsch?
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
bitte Fragen auch als Fragen stellen und nicht als Mitteilungen!
> jetzt verstehe ich grade gar nichts mehr-.-
> laut unserem Prof sollen wir zur bestimmung der homogenen
> Diffgl. y´mit dy/dx ersetzen und quasi Seperationsmethode
> anwenden ist das falsch?
Ja, aber das Ersetzen von [mm]y'[/mm] durch [mm]dy/dx[/mm] ist doch nicht die homogene Dgl.
Die homogene Dgl. ist die Dgl. ohne x-Terme (nur mit y)
Also wie mehrfach erwähnt:
[mm]y_{h}'+y_h=0[/mm] bzw. [mm]y_h'=-y_h[/mm]
Lassen wir der besseren Schreibbarkeit wegen den Index weg:
[mm]y'=-y[/mm]
Nun ersetze wie empfohlen:
[mm]\frac{dy}{dx} \ = \ -y [/mm]
Nun durch [mm]y[/mm] teilen (für [mm]y\not\equiv 0[/mm]) und mit dx multiplizieren:
[mm]\Rightarrow \frac{1}{y} \ dy \ = \ -1 \ dx[/mm]
Integrieren:
[mm]\int{\frac{1}{y} \ dy} \ = \ \int{-1 \ dx}[/mm]
[mm]\Rightarrow \ln(|y|) \ = \ -x+c[/mm] mit [mm]c\in\IR[/mm]
Nun nach y auflösen.
Am Ende dann mit VdK eine partikuläre Lösung bestimmen.
Beachte, dass sich die Lösung als Summe der allg. homogenen Lösung und einer part. Lösung zusammensetzt:
[mm]y=y_h+y_p[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Fr 10.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
okay habe jetzt als y_hom e^(-x+c) ?
ist dies richtig?
das wäre dann [mm] e^-x*e^c
[/mm]
also e^-x *k
dann mit Variation der Konstanten
y(x)=k(x)*e^-x
y´(x)=k´(x)*e^-x+k(x)*-e^-x
??
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
ist das ne Frage oder eine Mitteilung?
Bitte Fragen als Fragen stellen.
Das nächste Mal lösche ich das kommentarlos!
> okay habe jetzt als |y_hom| e^(-x+c) ? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ist dies richtig?
> das wäre dann [mm]e^-x*e^c[/mm]
> also e^-x *k
>
> dann mit Variation der Konstanten
> y(x)=k(x)*e^-x
> y´(x)=k´(x)*e^-x+k(x)*-e^-x
Jo, bis auf ein fehlendes Klammerpaar:
[mm]y'(x)=k'(x)e^{-x}-k(x)e^{-x}[/mm]
Klicke mal auf meine Formeln, dann siehst du, wie du sie schön lesbar eintippen kannst
> ??
Richtig soweit. Nun dieses [mm]y'[/mm] und [mm]y[/mm] in die Ausgangsdgl einsetzen und [mm]k(x)[/mm] durch Integration bestimmen.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Fr 10.05.2013 | | Autor: | xsuernx |
> Hallo nochmal,
>
> ist das ne Frage oder eine Mitteilung?
>
> Bitte Fragen als Fragen stellen.
>
> Das nächste Mal lösche ich das kommentarlos!
>
Sorry hatte die zweite Mitteilung bereits getippt deine Ermahnung jedoch noch nicht gelesen und komme mit der großen Anzahl der möglichen Antworten noch nicht klar...
Okay ich habe
$ [mm] k'(x)=x/e^{-x} [/mm] $
[mm] $k(x)=(x-1)*e^x$
[/mm]
und als endergebnis
[mm] $y(x)=e^{-x}*k+(x-)*e^x [/mm] $
und als spezielle Lösung aus der Randbedingung folgt bei mir
$ k=2 $
ist das richtig?
Viele Dank
Sören
|
|
|
|
(Besser wie mein Prof., der mal "Vielfachheit" abkürzen
