alternierende harmonische reih < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Ich habe ein problem mir folgender Aufgabe:
"Betrachten Sie die alternierende harmonische Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] an mit [mm] an=(-1^n/n. [/mm] Ordnen Sie diese Reihe zu einer divergenten reihe um, d.h. finden Sie ( mit beweis!) eine permutation [mm] k:\IN \to \IN [/mm] , so dass die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] ak(n) divergiert. "
Ich habe schon ein wenig rumprobiert, aber leider bin ich noch zu keinem richtigen Ergebnis gekommen, und ich weiß schon gar nicht wie ich das beweisen sollte, wenn ich durch Ausprobieren etwas herausbekommen würde.
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen???
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:20 Mo 22.11.2004 | | Autor: | praetorA |
so ich die Aufgabe richtig verstanden habe suchen Wir eine Teilfolge
[mm] a_k(n), [/mm] von der die Reihe divergiert.
* k(n) = 2n
[mm] \summe_{i=1}^{ \infty}(-1)^{2n}*\bruch{1}{2n}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}\summe_{i=1}^{ \infty}\bruch{1}{n}
[/mm]
und das ist divergent.
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Vielen Dank für deine Antwort, muss ich dann jetzt nur noch zeigen, dass diese Teilfplge konvergiert und das ist dann wohl auch auf dem blatt gemeint "( mit Beweis)" hm?
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Die kurze Umformung die ich gemacht habe ist eigentlich schon der Beweis,
dass die neue Reihe aus der Teilfolge divergiert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo praetor,
> so ich die Aufgabe richtig verstanden habe suchen Wir eine
> Teilfolge
> [mm]a_k(n),[/mm] von der die Reihe divergiert.
> * k(n) = 2n
Nein, das ist nicht gefragt. Da die Abbildung [mm] $k:\IN \to \IN$ [/mm] eine Permutation soll, muss sie bijektiv sein. Die von dir vorgeschlagene Abbildung (ich bezeichne sie jetzt mit $r$) $r: [mm] \IN \to \IN$,[/mm] [m]r(n):=2n[/m] ist zwar injektiv, aber nicht surjektiv (z.B. gibt es kein [mm] $\hat{n}\in \IN$ [/mm] mit [m]r(\hat{n})=3[/m]). Also ist sie auch keine Permutation und du hast deswegen die Aufgabe nicht gelöst.
Ich formuliere die Aufgabe mal etwas anders:
"Finden Sie eine bijektive Abbildung [mm] $k:\IN \to \IN$, [/mm] so dass [m]\summe_{i=1}^{\infty}{a_{k(n)}}[/m] divergiert!"
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Mo 22.11.2004 | | Autor: | praetorA |
@ marcel:
hast natürlich recht, daran hätt ich gleich denken müssen, dass das bijektiv ist. aber vielleicht lässt sich meine erkenntnis dahingehend verwenden, dass man zuerst die geraden und dann die ungeraden aufsummiert.
wie gesagt, nur ein vorschlag.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo praetorA,
> @ marcel:
> hast natürlich recht, daran hätt ich gleich denken müssen,
> dass das bijektiv ist. aber vielleicht lässt sich meine
> erkenntnis dahingehend verwenden, dass man zuerst die
> geraden und dann die ungeraden aufsummiert.
> wie gesagt, nur ein vorschlag.
Okay, es ist ja nur ein Vorschlag. Aber wenn du das so machen würdest (sofern ich dich recht verstehe), dann kämst du auf einen Ausdruck [m]\infty+(-\infty)[/m], was gar nicht definiert ist (wobei ich dabei keine Möglichkeit sehe, die Bijektion auch nur irgendwie zu beschreiben). Meine Idee wäre, die Folgenglieder so anzuordnen, dass man eine Reihe bekommt, die man nach und nach mittels der harmonischen Reihe abschätzen kann.
Z.B. irgendwie so:
[mm] $\summe_{i=1}^{j_1}{a_{k(i)}} \le -\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=j_1+1}^{j_2}{a_{k(i)}} \le -\frac{1}{3}$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=j_2+1}^{j_3}{a_{k(i)}} \le -\frac{1}{4}$
[/mm]
.
.
.
wobei [mm] $j_l \le j_{l+1}+1$ [/mm] und [mm] $j_l \in \IN$ $\forall [/mm] l [mm] \in \IN$.
[/mm]
Ich weiß jetzt nicht, ob das geht, und falls es geht, wie das geht und mir fehlt auch die Zeit, mich näher damit zu befassen. Aber es soll ja nur als Ansatz dienen. Sollte er nicht zum Ziel führen, so müssen wir ihn halt verwerfen.
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Di 23.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Tach Yellowbird!
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{T(k)} [/mm] sei eine Umordnung
T steht für Tausch
betrachten wir die Glieder ungerader Ordnung der harmonischen Reihe von [mm] \bruch{1}{2^{n}+1} [/mm] bis [mm] \bruch{1}{2^{n+1}-1} [/mm] , dann gilt [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge1:
[/mm]
[mm] \underbrace{\bruch{1}{2^{n}+1}+\bruch{1}{2^{n}+3}+...+\bruch{1}{2^{n+1}-1}}_{2^{n-1}Summanden}>\bruch{2^{n-1}}{2^{n+1}}=\bruch{1}{4}
[/mm]
somit laßt sich die harmonische Reihe wiefolgt umordnen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{T(k)-1}}{_{T}(k)}=
[/mm]
[mm] =1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+
[/mm]
[mm] +(\bruch{1}{5}+\bruch{1}{7})-\bruch{1}{6}+
[/mm]
[mm] +(\bruch{1}{9}+\bruch{1}{11}+\bruch{1}{13}+\bruch{1}{15})-\bruch{1}{8}+
[/mm]
+...
[mm] +(\bruch{1}{2^{n}+1}+\bruch{1}{2^{n}+3}+...+\bruch{1}{2^{n+1}-1})-\bruch{1}{2n+2}+....
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{T(k)-1}}{_{T}(k)}=\infty
[/mm]
MfG zwerg
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