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hallo leute, ich komm mit folgender aufgabenstellung nicht klar. könnte mir irgendjemand bitte helfen?
also:die endpunkte der strecke PQ liegen auf den positiven koordinatenachsen (also P liegt auf y-achse und Q auf der x-achse). Die strecke PQ hat die feste länge 6. Rotiert das dreieck 0(Koordinatenursprung)QP um die y-achse, so entsteht ein kegel mit dem volumen V (u) (>in zeichnung steht bei punkt P(0/u)).
a) Ermitteln sie den term V(u). Welche Werte für u sind möglich?
b) Skizzieren sie den graphen für V (u).
c) Für welches u ist das Kegelvolumen 60?
d) Gibt es Kegel mit dem Volumen 100?
ich weiß, dass das viel ist, aber ich habe echt null ahnung
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo madsenfan!
Ich gehe mal davon aus, daß ihr in der 12.Klasse noch nicht allzu viel über Rotationskörper gehört habt. Deshalb gebe ich dir mal ein paar Hinweise, wie du die Aufgabe auch so lösen kannst.
Das Volumen V eines Kreiskegels berechnet man mit:
V(r,h) = [mm] \bruch{1}{3}*\pi *r^{2}*h
[/mm]
mit r ... Radius der Grundfläche
h ... Höhe des Kreiskegels
Da der Punkt P(0;u) die Spitze des Kreiskegels darstellt wird durch ihn die Höhe des Kreiskegels allgemein durch u angegeben.
Nun fehlt dir noch der Radius der Grundfläche um die Volumenformel aufzustellen.
Da die x-Achse und die y-Achse senkrecht aufeinander stehen und die Strecke [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] beide Achsen verbindet, wird ein rechtwinkliges Dreieck erzeugt. Von der Strecke [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] weisst du, daß sie den Betrag (also die Länge) von 6 LE hat. Die Streck [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] stellt die Hypothenuse des rechtwinklichen Dreiecks dar. Eine der Katheten ist die Höhe des Kreiskegels, also unsere Variable u. Die andere Kathete ist der Abschnitt zwischen Koordinatenursprung und Punkt Q, den wir ab jetzt r nennen, da er dem Radius der Grundfläche entspricht.
Der Pythagoras lautet demzufolge:
[mm] 6^{2} [/mm] = [mm] r^{2} [/mm] + [mm] u^{2}
[/mm]
nach [mm] r^{2} [/mm] umgestellt:
[mm] r^{2} [/mm] = [mm] 36-u^2{2}
[/mm]
Setzen wir nun unsere Gleichung für [mm] r^{2} [/mm] und u für h in die Volumenformel von oben ein, so erhalten wir:
[mm] V(u)=\bruch{1}{3}*\pi *(36-u^{2})*u
[/mm]
ausmultipliziert:
[mm] V(u)=\bruch{1}{3}*\pi *(36u-u^{3})
[/mm]
Zur Frage, welche Wert für u zulässig sind:
Für u sind nur solche Werte zulässig, welche ein Volumen von 0 und größer 0 erzeugen.
Zur Bestimmung von u macht man aus der Gleichung eine Ungleichung und setzt V(x)=0:
0 [mm] \le \bruch{1}{3}*\pi *(36u-u^{3})
[/mm]
Wenn du die Ungleichung auflöst komm man (bitte SELBST nachrechnen!) auf die Bedingung für 0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 6. u muss also Werte zwischnen 0 und 6 annehmen.
Aufgabe a) ist damit fertig.
Aufgabe b)
Du musst eine Kurvendiskussion (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte) mit der bei a) ermittelten Funktion für V(u) durchführen und den Graphen in ein Koordinatensystem zeichen.
Sollte nicht schwierig sein, da die Funktion recht einfach ist.
Aufgabe c)
Setze für V(u)=60 und löse nach u auf. (könnte kompliziert werden, da Polynomdivision erforderlich wird)
einfachere Lösung: u anhand deiner in b) gefertigten Skizze näherungsweise ablesen.
Aufgabe d)
Genau wie bei c) nur setzt du V(u)=100 bzw. liest wieder alternativ den Wert am graphen ab.
Viel Erfolg.
Gruß,
Tommy
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