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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Mo 31.10.2005 | | Autor: | nicole12 |
Hallo!
Hab da ne Aufgabe mit der ich nix anfangen kann.
Seien a, b, c, d Elemente eines angeordneten Körpers.Beweisen sie die Ungleichungen:
a) [mm] a^{2}+b^{2} \ge [/mm] 2ab
b) [mm] a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge [/mm] ab+bc+ca
c) [mm] a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}\ge [/mm] 4abcd
Weiß bei allen drei Aufgaben nicht wie ich das machen muss und wie ich das korrekt aufschreibe.
Wär um eine Hilfe sehr dankbar.Viele liebe Grüße und schonmal im Vorraus ein ganz liebes Dankeschön an die, die versuchen mir zu helfen.Nicole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Nicole!
a) $ [mm] a^{2}+b^{2} \ge [/mm] $ 2ab
Das ist äquivalent zu [mm] $(a-b)^2\geq [/mm] 0$, was man leicht aus den Ordnungsaxiomen ableiten kann [mm] ($x^2\geq [/mm] 0$ für alle [mm] $x\in \IK)$.
[/mm]
b) $ [mm] a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge [/mm] $ ab+bc+ca
Nach (a) gilt [mm] $a^2+b^2\geq 2ab,b^2+c^2\geq [/mm] 2bc, [mm] c^2+a^2\geq [/mm] 2ac$. Addiere die drei Ungleichungen, dann steht die zu beweisen Ungleichung schon da.
c) $ [mm] a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}\ge [/mm] $ 4abcd
Nach (a) gilt [mm] $a^4+b^4\geq 2a^2+b^2$, [/mm] analoges für die Paare $(b,c),(c,d)$ und $(d,a)$. Addierst du diese vier Ungleichungen, erhältst du [mm] $a^4+b^4+c^4+d^4\geq (ab)^2+(bc)^2+(cd)^2+(da)^2$. [/mm] Nun wenden wir nochmals (a) an: es ist [mm] $(ab)^2+(cd)^2\geq [/mm] 2abcd$, ebenso [mm] $(bc)^2+(dc)^2\geq [/mm] 2abcd$. Also erhalten wir zusammen [mm] $a^4+b^4+c^4+d^4\geq (ab)^2+(bc)^2+(cd)^2+(da)^2\geq [/mm] 2abcd+2abcd=4abcd$, was zu zeigen war.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:01 Mo 31.10.2005 | | Autor: | nicole12 |
wollt mich bedanken für die schnelle, übersichtliche und super nachvollziehbare Antwort bedanken!!!!Hab das jetzt voll kapiert.Gruß Nicole
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