arg(1-exp(it))=(t-pi)/2 ? < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: arg(1-exp(it))=(t-pi)/2 |
Hallo liebe Matheraum-User!
Ich sitze gerade an der schriftlichen Ausarbeitung meines Proseminar-Vortrages und würde diesen jetzt eigentlich gerne abschicken. Da ist nur ein Problem: Mir fehlt immer noch eine Gleichheit, die ich einfach nicht bewiesen bekomme.
Folgendes steht in der Literatur:
[mm] arg(1-e^{it})=\frac{t-\pi}{2}
[/mm]
Aber warum ist das so und wie genau kann ich das zeigen?
Ich habe mir gestern bereits mit einem Bekannten Rücksprache gehalten, der mir erstmal die Argumentfkt. richtig erklärt hat, den genauen Rechenweg hat er mir aber leider auf Anhieb auch nicht liefern können.
Mein jetziger Ansatz:
[mm] arg(1-e^{it})=arg(-e^{i\pi}-e^{it})=...=arg(e^{\frac{t-\pi}{2}})=\frac{t-\pi}{2}
[/mm]
Vielmehr springt bei meinem begrenzten Wissen über die Fkt. leider nicht raus.
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=1382&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D3%26ved%3D0CDoQFjAC
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Man kann sich das sehr leicht geometrisch klarmachen: für eine reelle Variable t ist das Schaubild von
[mm] t\mapsto{e}^{it}
[/mm]
in der Komplexen Ebene gerade der Einheitskreis. Jetzt wähle einen beliebigen Punkt auf dem Kreis, dann bildet der Radius zu diesem Punkt mit der Zahl 1 ein gleichschenkliges Dreieck. Daraus folgt die Identität dann sofort über die Winkelsumme im Dreieck.
Irgendwie müsste man das auch noch rechnerisch hinbekommen. Das ist mir auch noch nicht geglückt: ich stelle deine Frage daher mal auf teilweise beantwortet.
Gruß, Diophant
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Danke, zur Veranschaulichung war das wirklich gut!
Leider hilft mir das für meine Ausarbeitung aber wenig weiter.
Und ich suche immer noch nach einem rechnerischem Ansatz...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Mo 06.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Allgemein: ist z=x+iy [mm] \in \IC [/mm] mit x,y [mm] \in \IR, [/mm] so ist, falls x [mm] \ne [/mm] 0:
arg(z)= arctan(y/x).
Wobei arg(z) [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi).
[/mm]
Edit: Al hat mich auf einen Fehler aufmerksam gemacht. Obiges also vergessen. Wir machen es so:
Allgemein: ist z=x+iy [mm] \in \IC [/mm] mit x,y [mm] \in \IR, [/mm] so ist, falls x> 0:
arg(z)= arctan(y/x).
Wobei $arg(z) [mm] \in (-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})$
[/mm]
Wir setzen [mm] z(t):=1-e^{it}=1-cost(t)-isin(t) [/mm] für t [mm] \in [/mm] (0, 2 [mm] \pi).
[/mm]
Also x(t)=1-cos(t) und y(t)=-sin(t).
Dann ist [mm] $a(t):=arg(z(t))=arctan(\bruch{sin(t)}{cos(t)-1})$ [/mm] für t [mm] \in [/mm] (0, 2 [mm] \pi).
[/mm]
Setze [mm] b(t):=\bruch{t- \pi}{2}
[/mm]
Zeige: $a'(t)= [mm] \bruch{1}{2}=b'(t)$ [/mm] für t [mm] \in [/mm] (0, 2 [mm] \pi).
[/mm]
Es gibt also ein c [mm] \in \IR [/mm] mit:
a(t)=b(t)+c für t [mm] \in [/mm] (0, 2 [mm] \pi).
[/mm]
Bestimme Du nun c.
FRED
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Also ohne zu rechnen würde ich sagen, c=0, denn genau da will ich ja hin.
Ich bekomme die linke Seite leider nicht ausgerechnet...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mo 06.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also ohne zu rechnen würde ich sagen, c=0, denn genau da
> will ich ja hin.
So ist es.
>
> Ich bekomme die linke Seite leider nicht ausgerechnet...
Wir hatten
a(t)=b(t)+c für t $ [mm] \in [/mm] $ (0, 2 $ [mm] \pi). [/mm] $
Schau Dir das mal für t= [mm] \pi [/mm] an.
FRED
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Rechts ist es dann offensichtlich =0, links denke ich auch, (arctan(0)=0?).
Also kann ich jetzt allgemein folgern, dass [mm] arctan(\frac{-sin(t)}{1-cos(t)}=\frac{t-\pi}{2}??
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Mo 06.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Rechts ist es dann offensichtlich =0, links denke ich auch,
> (arctan(0)=0?).
> Also kann ich jetzt allgemein folgern, dass
> [mm]arctan(\frac{-sin(t)}{1-cos(t)}=\frac{t-\pi}{2}??[/mm]
Ja
FRED
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Ich habe das Ganze jetzt wie folgt gelöst.
Danke nochmal für eure Mühen!
[mm] \arg(1-\mathrm e^{it})\\
[/mm]
[mm] =\arg((\mathrm e^{-i\frac t2}-\mathrm e^{i\frac t2})\cdot \mathrm e^{i\frac t2})
[/mm]
[mm] =\arg((\underbrace{\cos\left(-\frac t2\right)+i\sin\left(-\frac t2\right)-\cos\left(\frac t2\right)-i\sin\left(\frac t2\right)}_{=\cos\left(\frac t2\right)-i\sin\left(\frac t2\right)-\cos\left(\frac t2\right)-i\sin\left(\frac t2\right)})\cdot \mathrm e^{i\frac t2})\\
[/mm]
[mm] =\arg(-2i\sin\left(\frac t2\right)\mathrm e^{i\frac t2})
[/mm]
[mm] =\arg(2\sin\left(\frac t2\right)(-i)\mathrm e^{i\frac t2})\\
[/mm]
[mm] =\arg(2\sin\left(\frac t2\right)\mathrm e^{-i\frac \pi2}\mathrm e^{i\frac t2})
[/mm]
[mm] =\arg(2\sin\left(\frac t2\right)\mathrm e^{-i\frac \pi2+i\frac t2})\\
[/mm]
[mm] =\arg(2\sin\left(\frac t2\right)\mathrm e^{i\frac{t-\pi}{2}})
[/mm]
[mm] =\frac{t-\pi}{2}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:34 Di 07.08.2012 | | Autor: | Helbig |
> Ich habe das Ganze jetzt wie folgt gelöst.
>
> Danke nochmal für eure Mühen!
>
> [mm]\arg(1-\mathrm e^{it})\\[/mm]
> [mm]=\arg((\mathrm e^{-i\frac t2}-\mathrm e^{i\frac t2})\cdot \mathrm e^{i\frac t2})[/mm]
>
> [mm]=\arg((\underbrace{\cos\left(-\frac t2\right)+i\sin\left(-\frac t2\right)-\cos\left(\frac t2\right)-i\sin\left(\frac t2\right)}_{=\cos\left(\frac t2\right)-i\sin\left(\frac t2\right)-\cos\left(\frac t2\right)-i\sin\left(\frac t2\right)})\cdot \mathrm e^{i\frac t2})\\[/mm]
>
> [mm]=\arg(-2i\sin\left(\frac t2\right)\mathrm e^{i\frac t2})[/mm]
>
> [mm]=\arg(2\sin\left(\frac t2\right)(-i)\mathrm e^{i\frac t2})\\[/mm]
>
> [mm]=\arg(2\sin\left(\frac t2\right)\mathrm e^{-i\frac \pi2}\mathrm e^{i\frac t2})[/mm]
>
> [mm]=\arg(2\sin\left(\frac t2\right)\mathrm e^{-i\frac \pi2+i\frac t2})\\[/mm]
>
> [mm]=\arg(2\sin\left(\frac t2\right)\mathrm e^{i\frac{t-\pi}{2}})[/mm]
>
> [mm]=\frac{t-\pi}{2}[/mm]
Dies stimmt nur für [mm] $t\in(0; 2\pi)$. [/mm] Für [mm] $t\in (2\pi; 4\pi)$ [/mm] wäre z. B. [mm] $\frac {t+\pi} [/mm] 2$ ein Argument von [mm] $1-e^{it}$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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> Allgemein: ist z=x+iy [mm]\in \IC[/mm] mit x,y [mm]\in \IR,[/mm] so ist,
> falls x [mm]\ne[/mm] 0:
>
> arg(z)= arctan(y/x).
>
> Wobei arg(z) $ [mm] \in [/mm] $ [0, 2 $ [mm] \pi). [/mm] $
Hallo FRED,
um in jedem Fall das richtige Argument zu erhalten, ist
diese Formel nicht wirklich geeignet, da die gewöhnliche
arctan-Funktion nur Werte in einem Intervall der Länge [mm] \pi
[/mm]
liefert. Es würde zwischen arg(z) und arg(-z) nicht unter-
schieden.
Was man hier braucht, ist die Funktion ![[]](/images/popup.gif) ATAN2
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Mi 08.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Allgemein: ist z=x+iy [mm]\in \IC[/mm] mit x,y [mm]\in \IR,[/mm] so ist,
> > falls x [mm]\ne[/mm] 0:
> >
> > arg(z)= arctan(y/x).
> >
> > Wobei arg(z) [mm]\in[/mm] [0, 2 [mm]\pi).[/mm]
>
>
> Hallo FRED,
>
> um in jedem Fall das richtige Argument zu erhalten, ist
> diese Formel nicht wirklich geeignet, da die gewöhnliche
> arctan-Funktion nur Werte in einem Intervall der Länge
> [mm]\pi[/mm]
> liefert. Es würde zwischen arg(z) und arg(-z) nicht
> unter-
> schieden.
>
> Was man hier braucht, ist die Funktion
> ATAN2
>
> LG Al
Hallo Al,
Du hast natürlich recht. Für [mm] $z(t):=1-e^{it}$ [/mm] (mit $t [mm] \in [/mm] (0, 2 [mm] \pi)$) [/mm] ist Re(z(t))>0, und damit $arg(z(t)) [mm] \in (-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})$
[/mm]
Ich werde meine obige Antwort dahingehend verbessern. Es wäre nett, wenn Du in ein paar Minuten einen Blick drauf werfen könntest.
Gruß FRED
>
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mo 06.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeichne das doch einfach am Einheitskreis auf, die Summe ist die Diagonale in einem Rhombus.
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Di 07.08.2012 | | Autor: | fred97 |
Manchmal sieht man den Baum vor lauter Wäldern nicht:
zunächst ist [mm] e^{i* \bruch{t- \pi}{2}}= -ie^{i* \bruch{t}{2}}.
[/mm]
Damit sieht man schnell:
[mm] \bruch{1-e^{it}}{ e^{i* \bruch{t- \pi}{2}}}=2sin(t/2)
[/mm]
Somit:
[mm] $1-e^{it}= 2sin(t/2)*e^{i* \bruch{t- \pi}{2}}$
[/mm]
Für $t [mm] \in [/mm] (0, 2 [mm] \pi)$ [/mm] ist also
[mm] $|1-e^{it}|= [/mm] 2sin(t/2)$
und
[mm] $arg(1-e^{it})=\bruch{t- \pi}{2}$
[/mm]
FRED
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