arithm. o. geometrisch < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Do 11.02.2010 | | Autor: | lalalove |
Hallo!
Ich soll prüfen ob es sich um eine arithmetische oder eine geometrische FOlge handelt.
Ich soll das Bildungsgesetz dabei angeben.
a) 3,7,11,15,19,..
bildungsgesetz:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+2}
[/mm]
wie überprüfe ich sowas?
Könnt ihr mir bitte ein Beispiel geben?
Danke!
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> Hallo!
> Ich soll prüfen ob es sich um eine arithmetische oder
> eine geometrische FOlge handelt.
> Ich soll das Bildungsgesetz dabei angeben.
>
> a) 3,7,11,15,19,..
>
> bildungsgesetz:
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n+2}[/mm]
Was soll das für ein Gesetz sein? Für diese Reihe bestimmt nicht, denn dann hättest du ja lauter Brüche...ist das vielleicht ne andere Aufgabe?
>
> wie überprüfe ich sowas?
> Könnt ihr mir bitte ein Beispiel geben?
>
> Danke!
Ansonsten solltest du schon wissen, was der grundlegende Unterschied zwischen den genannten Reihen ist, falls nicht, lies es nach. Arithmetische Reihen wachsen immer um einen festen Betrag d, was bei der Reihe ja ganz offensichtlich auch der Fall ist, geometrische Reihen wachsen immer um einen bestimmten Faktor q, also z.B. 1,3,9,27 usw.
Das Bildungsgesetz solltest du dann alleine aufstellen können, ausprobieren und durch Probe bestätigen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Do 11.02.2010 | | Autor: | lalalove |
> > Hallo!
> > Ich soll prüfen ob es sich um eine arithmetische oder
> > eine geometrische FOlge handelt.
> > Ich soll das Bildungsgesetz der Folge dabei angeben.
> >
> > a) 3,7,11,15,19,..
> >
dann hatte ich wohl das falsche aufgeschrieben,
aber die aufgaben stellung ist richtig.
ich weiß aber nicht wie man sowas bildet.
Deswegen hätte ich ja auch gern ein Beispiel!
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Hallo lalalove,
> > > Hallo!
> > > Ich soll prüfen ob es sich um eine arithmetische
> oder
> > > eine geometrische FOlge handelt.
> > > Ich soll das Bildungsgesetz der Folge dabei
> angeben.
> > >
> > > a) 3,7,11,15,19,..
> > >
>
> dann hatte ich wohl das falsche aufgeschrieben,
> aber die aufgaben stellung ist richtig.
>
> ich weiß aber nicht wie man sowas bildet.
> Deswegen hätte ich ja auch gern ein Beispiel!
Na, da hast du doch ein Bsp.
Bilde mal die Differenz von je zwei aufeinanderfolgenden Gliedern.
Kommst du damit auf ein Bildungsgesetz?
Hier hast du eine arithmetische Folge vorliegen, es ist [mm] $a_{n+1}=a_n+d$ [/mm] (in rekursiver Darsellung) mit einem noch von dir zu ermittelnden $d$ bzw. [mm] $a_n=a_0+n\cdot{}d$ [/mm] (in expliziter Darstellung)
Weitere Bspe. und Aufgaben findest du massenhaft, wenn du bei google danach suchst ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 11.02.2010 | | Autor: | lalalove |
> Hallo lalalove,
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> > > > Hallo!
> > > > Ich soll prüfen ob es sich um eine arithmetische
> > oder
> > > > eine geometrische FOlge handelt.
> > > > Ich soll das Bildungsgesetz der Folge dabei
> > angeben.
> > > >
> > > > a) 3,7,11,15,19,..
> > dann hatte ich wohl das falsche aufgeschrieben,
> > aber die aufgaben stellung ist richtig.
> >
> > ich weiß aber nicht wie man sowas bildet.
> > Deswegen hätte ich ja auch gern ein Beispiel!
>
> Na, da hast du doch ein Bsp.
>
> Bilde mal die Differenz von je zwei aufeinanderfolgenden
> Gliedern.
>
> Kommst du damit auf ein Bildungsgesetz?
>
> Hier hast du eine arithmetische Folge vorliegen, es ist
> [mm]a_{n+1}=a_n+d[/mm] (in rekursiver Darsellung) mit einem noch von
> dir zu ermittelnden [mm]d[/mm] bzw. [mm]a_n=a_0+n\cdot{}d[/mm] (in expliziter
> Darstellung)
Was ist denn dieses "a" ?
das "d" in meiner Aufgabe die 4 richtig?
> Weitere Bspe. und Aufgaben findest du massenhaft, wenn du
> bei google danach suchst ...
>
Oh man. ich versteh es immer noch nicht.
Was ist überhaupt ein BIldungsgesetz und auf welche Art und weise kommt man darauf?
Also a) 3,7,11,15,19,.. ist eine arithmetische Folge..
das hab ich verstanden, da den einzelnen Glieder immer 4 dazu gegeben wurden.
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Hallo,
> > Kommst du damit auf ein Bildungsgesetz?
> >
> > Hier hast du eine arithmetische Folge vorliegen, es ist
> > [mm]a_{n+1}=a_n+d[/mm] (in rekursiver Darsellung) mit einem noch von
> > dir zu ermittelnden [mm]d[/mm] bzw. [mm]a_n=a_0+n\cdot{}d[/mm] (in expliziter
> > Darstellung)
> Was ist denn dieses "a" ?
> das "d" in meiner Aufgabe die 4 richtig?
Welches a?
[mm] a_{n} [/mm] beschreibt das n-te Folgenglied deiner Folge [mm] (a_{n}).
[/mm]
Wenn du zum Beispiel die Folge
3,7,11,15,19,...
hast, dann ist
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + 4
mit [mm] a_{1} [/mm] = 3.
Das bedeutet: Das (n+1)-te Folgenglied berechnet sich durch das n-te Folgenglied durch addieren von 4.
Das erste Folgenglied hat den Wert 3.
Oben steht nun das "rekursive Bildungsgesetz" einer Folge. (Bildungsgesetz einer Folge beschreibt mit Hilfe einer Formel, wie man die Folgenglieder berechnen kann).
Oft ist man aber eher am "expliziten Bildungsgesetz" interessiert, dass man also [mm] a_{n} [/mm] (das n-te Folgenglied) sofort und nur in Abhängigkeit von n, nicht aber von den vorherigen Folgengliedern angeben kann.
Hier ist das:
[mm] $a_{n} [/mm] = (n-1)*4 + 3 = (n-1)*d + [mm] a_{1}$.
[/mm]
> Oh man. ich versteh es immer noch nicht.
> Was ist überhaupt ein BIldungsgesetz und auf welche Art
> und weise kommt man darauf?
>
> Also a) 3,7,11,15,19,.. ist eine arithmetische Folge..
> das hab ich verstanden, da den einzelnen Glieder immer 4
> dazu gegeben wurden.
Genau. Wenn du eine Folge gegeben hast und entscheiden sollst, ob es eine geometrische Folge ist, musst du nur überprüfen, ob:
a) Alle Folgenglieder denselben Abstand d zum jeweils nächsten Folgenglied haben (wie zum Beispiel oben immer 4) --> Arithmetische Folge mit d = 4.
b) Der Quotient eines Folgengliedes und seines Vorgängers immer derselbe ist, wie zum Beispiel hier:
3,6,12,24,48,...
(immer 2 = 6/3 = 12/6 = 24/12 = 48/24 = ...) --> geometrische Folge mit q = 2.
Dann musst du nur noch das erste Folgenglied wissen [mm] (a_{1}), [/mm] und dann lauten die Formeln:
Arithmetisch:
- explizit: [mm] $a_{n} [/mm] = (n-1)*d + [mm] a_{1}$
[/mm]
- rekursiv: [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + d, [mm] a_{1} [/mm] = ...$
Geometrisch:
- explizit: [mm] $a_{n} [/mm] = [mm] a_{1}*q^{n-1}$
[/mm]
- rekursiv: [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n}*q, a_{1} [/mm] = ...$
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Do 11.02.2010 | | Autor: | lalalove |
Das was du mir grad erklärt hast..
ist das wie das hier:
d = [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] ? (arithmetische Folge)
< Wie rechnet man mit dieser Formel?
Das ist ein Bildungsgesetz?
3; 7; 11; 15; 19
4 = [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}
[/mm]
Die Zahlen der FOlge brauche ich nicht einzusetzen?
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Hallo,
> Das was du mir grad erklärt hast..
>
> ist das wie das hier:
> d = [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] ? (arithmetische Folge)
>
> < Wie rechnet man mit dieser Formel?
Damit kannst du in der Form nicht rechnen.
Das ist bloß mathematisch ausgedrückt, woran du eine arithmetische Folge erkennst:
$d = [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}$
[/mm]
für alle [mm] n\in\IN [/mm] bedeutet "umgangssprachlich": Der Abstand [mm] (a_{n+1}-a_{n}) [/mm] zwischen zwei Folgengliedern ist immer gleich (gleich d).
> Das ist ein Bildungsgesetz?
Nein. Aber man kann daraus das rekursive Bildungsgesetz herleiten:
$d = [mm] a_{n+1}-a_{n}\Rightarrow a_{n+1} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + d$
Allerdings musst du immer noch das erste Folgenglied angeben! [mm] a_{1} [/mm] = ...
> 3; 7; 11; 15; 19
>
> 4 = [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm]
>
> Die Zahlen der FOlge brauche ich nicht einzusetzen?
Was meinst du damit?
Wenn du einmal ein Bildungsgesetz einer Folge (also eine Formel, mit welcher man die Folgenglieder ausrechnen kann) herausgefunden hast, brauchst du die Folgenglieder da nicht einsetzen, um zu überprüfen, ob es stimmt.
Das solltest du dir dann schon selber glauben 
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Do 11.02.2010 | | Autor: | lalalove |
arithmetische folge: 3,7,11,15...
bildungsgesetz: [mm] a_{n}=4n-1
[/mm]
das müsste richtig sein?
Gibt es für jede folge nur ein bildungsgesetz?
4,1 , [mm] \bruch{1}{4}, \bruch{1}{16}, \bruch{1}{64}..
[/mm]
geometrische Folge?
Da immer durch 4 geteilt wird
Wie bilde ich hier das Bildungsgesetz?
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Hallo,
> arithmetische folge: 3,7,11,15...
>
> bildungsgesetz: [mm]a_{n}=4n-1[/mm]
>
> das müsste richtig sein?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gibt es für jede folge nur ein bildungsgesetz?
Was meinst du damit?
Du kannst grundsätzlich erstmal für arithmetische und geometrische Folgen immer ein rekursives und ein explizites Bildungsgesetz formulieren. (Oben hast du das explizite hingeschrieben).
Wenn du weißt, dass eine geometrische / arithmetische Reihe vorliegt, gibt es aber nicht mehr als diese beiden.
> 4,1 , [mm]\bruch{1}{4}, \bruch{1}{16}, \bruch{1}{64}..[/mm]
>
> geometrische Folge?
> Da immer durch 4 geteilt wird
> Wie bilde ich hier das Bildungsgesetz?
Lies dir dazu durch, was ich oben in dem langen Post geschrieben habe, und wende es an!
Es gilt: q = [mm] \frac{a_{n+1}}{a_{n}}
[/mm]
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Do 11.02.2010 | | Autor: | lalalove |
> Hallo,
>
> > arithmetische folge: 3,7,11,15...
> >
> > bildungsgesetz: [mm]a_{n}=4n-1[/mm]
> >
> > das müsste richtig sein?
>
>
>
> > Gibt es für jede folge nur ein bildungsgesetz?
>
> Was meinst du damit?
> Du kannst grundsätzlich erstmal für arithmetische und
> geometrische Folgen immer ein rekursives und ein explizites
> Bildungsgesetz formulieren. (Oben hast du das explizite
> hingeschrieben).
>
> Wenn du weißt, dass eine geometrische / arithmetische
> Reihe vorliegt, gibt es aber nicht mehr als diese beiden.
>
> > 4,1 , [mm]\bruch{1}{4}, \bruch{1}{16}, \bruch{1}{64}..[/mm]
> >
> > geometrische Folge?
> > Da immer durch 4 geteilt wird
>
>
>
> > Wie bilde ich hier das Bildungsgesetz?
>
> Lies dir dazu durch, was ich oben in dem langen Post
> geschrieben habe, und wende es an!
>
> Es gilt: q = [mm]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]
>
> Grüße,
> Stefan
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] : 4
Kann man das so schreiben? [mm] O_o
[/mm]
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Hallo lalalove,
> > Hallo,
> >
> > > arithmetische folge: 3,7,11,15...
> > >
> > > bildungsgesetz: [mm]a_{n}=4n-1[/mm]
> > >
> > > das müsste richtig sein?
> >
> >
> >
> > > Gibt es für jede folge nur ein bildungsgesetz?
> >
> > Was meinst du damit?
> > Du kannst grundsätzlich erstmal für arithmetische und
> > geometrische Folgen immer ein rekursives und ein explizites
> > Bildungsgesetz formulieren. (Oben hast du das explizite
> > hingeschrieben).
> >
> > Wenn du weißt, dass eine geometrische / arithmetische
> > Reihe vorliegt, gibt es aber nicht mehr als diese beiden.
> >
> > > 4,1 , [mm]\bruch{1}{4}, \bruch{1}{16}, \bruch{1}{64}..[/mm]
> >
> >
> > > geometrische Folge?
> > > Da immer durch 4 geteilt wird
> >
> >
> >
> > > Wie bilde ich hier das Bildungsgesetz?
> >
> > Lies dir dazu durch, was ich oben in dem langen Post
> > geschrieben habe, und wende es an!
> >
> > Es gilt: q = [mm]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]
> >
> > Grüße,
> > Stefan
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] : 4
Hier meinst Du wohl:
[mm]a_{n+1}=\bruch{a_{n}}{4}[/mm]
>
> Kann man das so schreiben? [mm]O_o[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Do 11.02.2010 | | Autor: | lalalove |
> Hallo lalalove,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > arithmetische folge: 3,7,11,15...
> > > >
> > > > bildungsgesetz: [mm]a_{n}=4n-1[/mm]
> > > >
> > > > das müsste richtig sein?
> > >
> > >
> > >
> > > > Gibt es für jede folge nur ein bildungsgesetz?
> > >
> > > Was meinst du damit?
> > > Du kannst grundsätzlich erstmal für arithmetische
> und
> > > geometrische Folgen immer ein rekursives und ein explizites
> > > Bildungsgesetz formulieren. (Oben hast du das explizite
> > > hingeschrieben).
> > >
> > > Wenn du weißt, dass eine geometrische / arithmetische
> > > Reihe vorliegt, gibt es aber nicht mehr als diese beiden.
> > >
> > > > 4,1 , [mm]\bruch{1}{4}, \bruch{1}{16}, \bruch{1}{64}..[/mm]
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> > > > geometrische Folge?
> > > > Da immer durch 4 geteilt wird
> > >
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> > > > Wie bilde ich hier das Bildungsgesetz?
> > >
> > > Lies dir dazu durch, was ich oben in dem langen Post
> > > geschrieben habe, und wende es an!
> > >
> > > Es gilt: q = [mm]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]
> > >
> > > Grüße,
> > > Stefan
> >
> > [mm]a_{n}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] : 4
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> Hier meinst Du wohl:
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> [mm]a_{n+1}=\bruch{a_{n}}{4}[/mm]
>
>
> >
> > Kann man das so schreiben? [mm]O_o[/mm]
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ähm, ich muss doch immer [mm] a_{n} [/mm] = ... stehen haben oder?
weil das von dir da kenn ich nicht..
> Gruss
> MathePower
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Hallo,
> > > [mm]a_{n}[/mm] = [mm]a_{n}[/mm] : 4
Dir sollte auffallen, dass dieser Ausdruck wenig Sinn macht!
Eine Zahl [mm] a_{n}, [/mm] die gleichzeitig sich selbst durch 4 geteilt ist, muss immer 0 sein!
> > Hier meinst Du wohl:
> >
> > [mm]a_{n+1}=\bruch{a_{n}}{4}[/mm]
> >
> ähm, ich muss doch immer [mm]a_{n}[/mm] = ... stehen haben oder?
>
> weil das von dir da kenn ich nicht..
Du kannst auch schreiben:
[mm] $a_{n} [/mm] = [mm] \frac{a_{n-1}}{4}$, a_{1} [/mm] = ...
Dir sollte aber klar sein, dass das völlig egal ist, ob da nun das steht oder
[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{a_{n}}{4}$
[/mm]
(Beides mal ist die Aussage: Man erhält das nächste Folgenglied der Folge, indem man das vorherige durch 4 teilt).
Das waren jetzt rekursive Bildungsvorschriften. Du kannst auch explizite Bildungsvorschriften angeben:
[mm] $a_{n} [/mm] = [mm] a_{1}*\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$
[/mm]
[mm] (a_{1} [/mm] ist das erste Folgenglied, das musst du noch hinschreiben).
Grüße,
Stefan
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