arithmetische Fkt umrechnen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 So 24.06.2012 | | Autor: | Laurent |
Hallo, ich habe ein Problem mit den arithmetischen Funktionen =(.
Ich soll zeigen, dass [mm] (C\*h)(n) [/mm] = [mm] \bruch{n}{\varphi(n)}, [/mm] wobei C(n)=1 für alle n und h(n) [mm] =\begin{cases} \bruch{1}{\varphi(n)}, & \mbox{für } n \mbox{ quadratfrei} \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}.
[/mm]
[mm] \* [/mm] ist hier die Dirichlet-Multiplikation.
Ich schreib einfach mal auf was ich schon "erreicht" habe:
[mm] (C\*h)(n)=\sum_{d|n}h(d)C(\bruch{n}{d}) [/mm] = [mm] \sum_{d|n}h(d). [/mm] Ich weiß, dass [mm] \sum_{d|n}\varphi(d) [/mm] = n ist.
Ich denke ich muss hier darüber gehen, dass ich n schreibe als [mm] p_1^{e_1}*...*p_r^{e_r}. [/mm] Außerdem könnte ich noch die Fälle Unterscheiden, ob n quadratfrei ist oder nicht. Wenn n quadratfrei ist, heißt das ja,
dass [mm] e_i [/mm] = 1 ist, für alle i. Das heißt ich habe [mm] \sum_{d|n}\bruch{1}{\varphi(d)}. [/mm] Aber ich schaffe es nicht mal zu zeigen, dass das hier [mm] \bruch{n}{\varphi(n)} [/mm] ist.
Ich hoffe doch ihr könnt mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Mo 25.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo, ich habe ein Problem mit den arithmetischen
> Funktionen =(.
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> Ich soll zeigen, dass [mm](C\*h)(n)[/mm] = [mm]\bruch{n}{\varphi(n)},[/mm]
> wobei C(n)=1 für alle n und h(n) [mm]=\begin{cases} \bruch{1}{\varphi(n)}, & \mbox{für } n \mbox{ quadratfrei} \\ 0, & \mbox{ sonst} \end{cases}.[/mm]
>
> [mm]\*[/mm] ist hier die Dirichlet-Multiplikation.
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> Ich schreib einfach mal auf was ich schon "erreicht" habe:
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> [mm](C\*h)(n)=\sum_{d|n}h(d)C(\bruch{n}{d})[/mm] = [mm]\sum_{d|n}h(d).[/mm]
> Ich weiß, dass [mm]\sum_{d|n}\varphi(d)[/mm] = n ist.
>
> Ich denke ich muss hier darüber gehen, dass ich n schreibe
> als [mm]p_1^{e_1}*...*p_r^{e_r}.[/mm] Außerdem könnte ich noch die
> Fälle Unterscheiden, ob n quadratfrei ist oder nicht. Wenn
> n quadratfrei ist, heißt das ja,
> dass [mm]e_i[/mm] = 1 ist, für alle i. Das heißt ich habe
> [mm]\sum_{d|n}\bruch{1}{\varphi(d)}.[/mm] Aber ich schaffe es nicht
> mal zu zeigen, dass das hier [mm]\bruch{n}{\varphi(n)}[/mm] ist.
>
> Ich hoffe doch ihr könnt mir helfen.
Du weisst doch, dass die Faltung (Dirichletmultiplikation) von multiplikativen Funktionen multiplikativ ist. Da $C$ und $h$ multiplikativ sind, musst du das ganze also nur noch fuer $n = [mm] p^e$ [/mm] nachweisen, $p$ prim, $e [mm] \in \IN$. [/mm] Dann ist $(C [mm] \* [/mm] h)(n) = [mm] \sum_{d\mid p^e} [/mm] h(d) = [mm] \sum_{f=0}^e h(p^f)$.
[/mm]
Das solltest du jetzt sehr einfach ausrechnen koennen.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Laurent |
Ist [mm] h(p^f) [/mm] nicht 0 sobald f > 1 ist? Weil ich dann ja sofort [mm] p^2 [/mm] als Teiler habe oder?
Das hieße ich summiere nur über h(1) und h(p). Also käme in der Summe [mm] 1+\bruch{1}{\varphi(p)} [/mm] raus, was heißt, dass ich wieder falsch gedacht habe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Mo 25.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ist [mm]h(p^f)[/mm] nicht 0 sobald f > 1 ist? Weil ich dann ja
> sofort [mm]p^2[/mm] als Teiler habe oder?
Genau.
> Das hieße ich summiere nur über h(1) und h(p). Also käme
> in der Summe [mm]1+\bruch{1}{\varphi(p)}[/mm] raus, was heißt, dass
> ich wieder falsch gedacht habe :)
Nein, wieso? Das Ergebnis soll doch [mm] $\frac{p^f}{\phi(p^f)}$ [/mm] sein. Rechne das doch mal aus, und genauso vereinfache $1 + [mm] \frac{1}{\varphi(p)}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Laurent |
Ich versuchs mal:
[mm] 1+\bruch{1}{\varphi(p)}=1+\bruch{1}{p-1}=\bruch{p}{p-1}.
[/mm]
Andererseits ist [mm] \bruch{p^f}{\varphi(p^f)}=\bruch{p^f}{p^f-p^{f-1}}
[/mm]
[mm] =\bruch{p}{p-1} [/mm] :)
Dann bin ich doch, wenn ich die multiplikativität einbringe fertig oder?
Schonmal großen Dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Mo 25.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ich versuchs mal:
>
> [mm]1+\bruch{1}{\varphi(p)}=1+\bruch{1}{p-1}=\bruch{p}{p-1}.[/mm]
>
> Andererseits ist
> [mm]\bruch{p^f}{\varphi(p^f)}=\bruch{p^f}{p^f-p^{f-1}}[/mm]
> [mm]=\bruch{p}{p-1}[/mm] :)
>
> Dann bin ich doch, wenn ich die multiplikativität
> einbringe fertig oder?
genau :)
> Schonmal großen Dank :)
Bitte!
LG Felix
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