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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Fr 07.10.2011 | | Autor: | Lucie05 |
| Aufgabe | Berechnen sie:
[mm] \summe_{i=1}^{50} (-1)^i*i^2 [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich habe mir gedanken gemacht und mehrere ansätze gefunden:
1) -1+4-9+16...-2401+2500
das heißt
3+7+11+15...+95+99
also eigentlich ist das 3+(3+4)+(3+4+4)...
nur fällt mir dazu keine Formel ein.
Wenn das nur einfache Zahlen wären, dann wre das ja eine arithmetische Folge.
2) [mm] \summe_{i=1}^{50}(-1)^i*i^2=
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{25}(i*2)^2- \summe_{i=1}^{25} ((i*2)-1)^2
[/mm]
auch hier weiß ich nicht wie ich es vereinfachen könnte.
So wie ich es verstanden habe, sollen wir das ohne Taschenrechner lösen, weil sonst könnte ich die Startgleichung direkt eintippen und bekomme das Ergebnis.
Danke, für Eure Hilfe, hoffe meine Ansätze sind schon in die richtige Richtung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Fr 07.10.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Lucie05,
> Berechnen sie:
> [mm]\summe_{i=1}^{50} (-1)^i*i^2[/mm]
> Hallo zusammen,
> Ich habe mir gedanken gemacht und mehrere ansätze
> gefunden:
> 1) -1+4-9+16...-2401+2500
> das heißt
> 3+7+11+15...+95+99
> also eigentlich ist das 3+(3+4)+(3+4+4)...
> nur fällt mir dazu keine Formel ein.
> Wenn das nur einfache Zahlen wären, dann wre das ja eine
> arithmetische Folge.
Das ist ein guter Ansatz!
Betrachte mal 2 aufeinander folgende Summanden (ich benenne mal: [mm]\sum_{i=1}^{50}(-1)^i i^2=:\sum_{i=1}^{50} a_i[/mm]):
[mm]a_n+a_{n+1}=(-1)^n*n^2+(-1)^{n+1}*(n+1)^2[/mm]
Wenn du alle Summanden in Zweiergrüppchen einteilst ([mm](a_1+a_2)+(a_3+a_4)+\ldots +(a_{47}+a_{48})+(a_{49}+a_{50})[/mm]), hat der erste immer einen ungeraden Index und der zweite einen geraden.
Es ergibt sich dann (mit [mm]n[/mm] ungerade)
[mm]a_n+a_{n+1}=-n^2+ (n+1)^2=2n+1[/mm].
Da [mm]n[/mm] ungerade ist, kannst du [mm]n=2k-1[/mm] setzen - mit [mm]k=1..25[/mm] (dann geht [mm]n[/mm] von 1 bis 50):
[mm]a_n+a_{n+1}=2(2k-1)+1=4k-1[/mm].
So, jetzt zurück zur eigentlichen Reihe: Du summierst jetzt nicht mehr 50 Einzelne Summanden, sondern 25 Zweiergrüppchen. Es ist also
[mm]\sum_{i=1}^{50}(-1)^i*i^2=\sum_{k=1}^{25}(4k-1)[/mm].
Jetzt bist aber du wieder dran. 
>
> 2) [mm]\summe_{i=1}^{50}(-1)^i*i^2=[/mm]
>
> [mm]\summe_{i=1}^{25}(i*2)^2- \summe_{i=1}^{25} ((i*2)-1)^2[/mm]
>
> auch hier weiß ich nicht wie ich es vereinfachen könnte.
Das kommt auf's Selbe raus wie oben. Du kannst auch gleich hier einsteigen und ein paar ![[]](/images/popup.gif) Rechenregeln für Reihen anwenden.
> So wie ich es verstanden habe, sollen wir das ohne
> Taschenrechner lösen, weil sonst könnte ich die
> Startgleichung direkt eintippen und bekomme das Ergebnis.
Ja, mit Taschenrechner ist die Aufgabe witz- und sinnlos.
> Danke, für Eure Hilfe, hoffe meine Ansätze sind schon in
> die richtige Richtung.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Fr 07.10.2011 | | Autor: | Lucie05 |
Hallo,
wenn ich jetzt meinen 2ten Ansatz nehme, komme ich mit den Summenrechenregeln auch auf das Ergebnis:
[mm] \summe_{i=1}^{25} (4i-1)^2
[/mm]
Aber an dieser Stelle würde ich dann alle 25 Zahlen addieren.
Weitr kann ich das nicht vereinfachen, oder hab ich dich ja jetzt falsch verstanden?
Danke für deine Mühe
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Hallo Lucie05,
> Hallo,
>
> wenn ich jetzt meinen 2ten Ansatz nehme, komme ich mit den
> Summenrechenregeln auch auf das Ergebnis:
> [mm]\summe_{i=1}^{25} (4i-1)^2[/mm]
>
Es muss doch heissen:
[mm]\summe_{i=1}^{25} (4i-1)[/mm]
> Aber an dieser Stelle würde ich dann alle 25 Zahlen
> addieren.
> Weitr kann ich das nicht vereinfachen, oder hab ich dich
> ja jetzt falsch verstanden?
>
Zerlege die obige Summe in ihre Bestandteile:
[mm]\summe_{i=1}^{25} (4i-1)=\summe_{i=1}^{25} 4i-\summe_{i=1}^{25} 1=4\summe_{i=1}^{25} i-\summe_{i=1}^{25} 1[/mm]
Für die jetzt entstandenen Summen gibt es Formeln.
> Danke für deine Mühe
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:08 Fr 07.10.2011 | | Autor: | Lucie05 |
Danke Schön :)
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