arsinh x + arsinh y < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | z.z.: [mm] \forall [/mm] x,y in [mm] \IR: [/mm] arsinh x + arsinh y = arsinh ( x [mm] \wurzel{1 + y^2} [/mm] + y [mm] \wurzel{1 + x^2} [/mm] ) |
hallo,
erstmal wollte ich einfach auf der rechte Seite die definition des arsinh x = log ( x + [mm] \wurzel{ 1 + x^2}) [/mm] anwenden, nachdem diese rechnung aber nichts gescheites ergibt, frage ich mich, ob man das überhaupt darf oder, ob man summen da nicht einsetzen darf? eine formel für den arsinh (x + y) habe ich nicht gefunden.
eventuell muss ich auch mit der umkehrfunktion argumentieren, weil das thema der übung ist. ich wäre einfach dankbar für einen tipp, wie ich anfangen kann?
danke schön,
karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:23 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
> z.z.: [mm]\forall[/mm] x,y in [mm]\IR:[/mm] arsinh x + arsinh y = arsinh ( x
> [mm]\wurzel{1 + y^2}[/mm] + y [mm]\wurzel{1 + x^2}[/mm] )
Also diese Aussage gilt sicherlich nicht. Gegenbeispiel: Waehle
$x=y=1$
Spaetestens beim Versuch diese Aussage zu beweisen, wirst Du erkennen fuer welche $x,y$ diese Gleichheit gilt, und zwar nur fuer die $x,y$, die die folgende Gleichung erfuellen:
[mm] $2xy=\sqrt{x^2+2x^2y^2+y^2+2xy\sqrt{1+x^2+y^2+x^2y^2}+1}$
[/mm]
EDIT: Ich bin mir gerade etwas unsicher. Vermutlich habe ich mich hier vertan. Ich versuche mal den Anfang zu machen:
[mm] $\mathrm{arsinh}(x)+\mathrm{arsinh}(y)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+\ln\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=\ln\left(\left[x+\sqrt{x^2+1}\right]\cdot\left[y+\sqrt{y^2+1}\right]\right)$
[/mm]
[mm] $=\ln\left(y\sqrt{x^2+1}+x\sqrt{y^2+1}+\red{xy+\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}}\right)=(\cdots)$
[/mm]
Jetzt setze ich mal von der anderen Seite an:
[mm] $\mathrm{arsinh}\left(x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}\right)=\ln\left(y\sqrt{x^2+1}+x\sqrt{y^2+1}+\sqrt{\left(x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}\right)^2+1}\right)$
[/mm]
Demzufolge sind die Ausdruecke genau dann gleich, wenn
[mm] $\red{xy+\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}}=\sqrt{\left(x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}\right)^2+1}$
[/mm]
bzw. aequivalent dazu
[mm] $\sqrt{\left(x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}\right)^2+1}-\red{xy-\sqrt{x^2+1}\sqrt{y^2+1}}=0$
[/mm]
erfuellt ist.
> hallo,
>
> erstmal wollte ich einfach auf die rechte Seite einfach die
> definition des arsinh x = log ( x + [mm]\wurzel{ 1 + x^2})[/mm]
> anwenden, nachdem diese rechnung aber nichts gescheites
> ergibt, frage ich mich, ob man das überhaupt darf oder, ob
> man summen da nicht einsetzen darf?
Du hast doch nichts anderes gemacht, als dass Du die Definition des $arsinh$ ausgenutzt hast und das darfst Du natuerlich.
> eine formel für den
> arsinh (x + y) habe ich nicht gefunden.
> eventuell muss ich auch mit der umkehrfunktion
> argumentieren, weil das thema der übung ist. ich wäre
> einfach dankbar für einen tipp, wie ich anfangen kann?
Tja, das weiss ich im Augenblick leider auch nicht, aber vielleicht jemand anderes.
> danke schön,
> karl
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:53 Mo 07.12.2009 | | Autor: | karlhungus |
also wäre diese aussage ungültig für alle x,y in R wäre das natürlich ein ziemlicher fehler von unserem übungsleiter.
ich vermute aber eher, dass man die rechte seite nicht einfach einsetzen darf, die additionstheoreme zum sinus hyperbolicus lauten:
sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
kann man sich daraus eines für die umkehrfunktionen herleiten?
ich schau mal nach, was da herauskommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
Wieso sollte ich denn die Definition ueber den Logarithmus nicht ausnutzen duerfen?
Ich denke schon, dass das Additionstheorem stimmt, da ich es auch "im Internet" gefunden habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Mo 07.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo karlhungus,
der Fehler liegt tatsächlich bei Deinem Übungsleiter.
Das nehme ich zurück. Der Fehler lag bei mir. Entschuldigung!
lg
reverend
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> > z.z.: [mm]\forall[/mm] x,y in [mm]\IR:[/mm] arsinh x + arsinh y = arsinh ( x
> > [mm]\wurzel{1 + y^2}[/mm] + y [mm]\wurzel{1 + x^2}[/mm] )
>
> EDIT: Ich bin mir gerade etwas unsicher. Vermutlich habe
> ich mich hier vertan. Ich versuche mal den Anfang zu
> machen:
>
> [mm]\mathrm{arsinh}(x)+\mathrm{arsinh}(y)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)+\ln\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=\ln\left(\left[x+\sqrt{x^2+1}\right]\cdot\left[y+\sqrt{y^2+1}\right]\right)[/mm]
>
> [mm]\red{=}\ln\left(y\sqrt{x^2+1}+x\sqrt{y^2+1}+2xy\right)=(\cdots)[/mm]
Hallo,
das rotmarkierte Gleichheitszeichen stimmt doch nicht.
Gruß v. Angela
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> Jetzt setze ich mal von der anderen Seite an:
>
> [mm]\mathrm{arsinh}\left(x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}\right)=\ln\left(y\sqrt{x^2+1}+x\sqrt{y^2+1}+\sqrt{\left(x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}\right)^2+1}\right)[/mm]
>
> Demzufolge sind die Ausdruecke genau dann gleich, wenn
>
> [mm]2xy=\sqrt{\left(x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}\right)^2+1}[/mm]
>
> bzw. aequivalent dazu
>
> [mm]\sqrt{\left(x\sqrt{y^2+1}+y\sqrt{x^2+1}\right)^2+1}-2xy=0[/mm]
>
> erfuellt ist.
>
> > hallo,
> >
> > erstmal wollte ich einfach auf die rechte Seite einfach die
> > definition des arsinh x = log ( x + [mm]\wurzel{ 1 + x^2})[/mm]
> > anwenden, nachdem diese rechnung aber nichts gescheites
> > ergibt, frage ich mich, ob man das überhaupt darf oder, ob
> > man summen da nicht einsetzen darf?
>
> Du hast doch nichts anderes gemacht, als dass Du die
> Definition des [mm]arsinh[/mm] ausgenutzt hast und das darfst Du
> natuerlich.
>
> > eine formel für den
> > arsinh (x + y) habe ich nicht gefunden.
> > eventuell muss ich auch mit der umkehrfunktion
> > argumentieren, weil das thema der übung ist. ich wäre
> > einfach dankbar für einen tipp, wie ich anfangen kann?
>
> Tja, das weiss ich im Augenblick leider auch nicht, aber
> vielleicht jemand anderes.
>
> > danke schön,
> > karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Mo 07.12.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo,
>
> das rotmarkierte Gleichheitszeichen stimmt doch nicht.
Verdammt, da hast Du natuerlich Recht. Ich korrigiere meine Antwort mal schnell.
>
> Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Mo 07.12.2009 | | Autor: | reverend |
Entschuldigung an alle, die verzweifelt nachzurechnen versucht haben. Ich habe direkt am Anfang meiner Rechnung einen Rechenfehler (fehlendes Quadrat) gehabt. Eigenartigerweise kürzt sich nach heftigem Aufblähen schließlich doch fast alles weg, stehen blieb der schöne Term.
Er war falsch.
Jetzt noch mal von vorne gerechnet, rückwärts und mit Überprüfung anhand von Werten. Die ursprüngliche Aufgabe war völlig richtig gestellt!
| Aufgabe | | z.z.: [mm] \forall x,y\in \IR:\quad arsinh{\text{ }}x+arsinh{\text{ }}y=arsinh{\left(x\wurzel{1+y^2}+y\wurzel{1+x^2}\right)} [/mm] |
Zur Strafe würde ich sogar den ganzen langen Rechenweg abtippen, aber erst heute abend.
Entschuldigung nochmal!
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Mo 07.12.2009 | | Autor: | reverend |
Du hast Recht, Denny.
Ich hatte mich geirrt und habe es korrigiert.
Es ist rückwärts leichter zu rechnen:
Beginne mit [mm] arsinh{\text{ }}z=arsinh{\text{ }}x+arsinh{\text{ }}y
[/mm]
und löse nach z auf. Das ist immer noch ein mit Wurzeln überhäuftes Blatt Papier, aber dafür kommt man gut zum Ziel. Wenn man sich nicht verrechnet, wie ich...
lg
reverend
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> z.z.: [mm]\forall\ x,y \in \IR:\ \ \ arsinh x + arsinh y\ =\ arsinh ( x *\wurzel{1 + y^2}+ y *\wurzel{1+x^2})[/mm]
Hallo karl,
Setze $x=: sinh(u)$ und $y=: sinh(v)$
Dann ist [mm] cosh(u)=\wurzel{1+x^2} [/mm] und [mm] cosh(v)=\wurzel{1+y^2}
[/mm]
Wende dann das ![[]](/images/popup.gif) Additionstheorem für sinh an:
$\ sinh(u+v)=......$
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Mo 07.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
hübsche Idee. Das hätte meinen Papierverschleiß erheblich senken können.
Liebe Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 07.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wend auf beide Seiten sinh an.
links dann zuerst die Def von sinh durch e fkt, darin die arcsin durch den log.
Damit solltest du hinkommen.
Gruss leduart
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