aufgabe zum differentenquotien < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | gegeben sei die Funktion f mit f:x --> 5/x+2 xR [mm] \{-2}
[/mm]
bestimme die ableitung der fkt. f an der stelle x0=1 mit hilfe des grenzweretes des differenzenquotienten.
b) bestimme die gleichung der tangente an dem graphen zu f im ounkt (1/f(1) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ansatz;
f(x)- f(x0)
-------------
x-x0
ms=f(x)-f(1)
--------------
x-3
5/x+2-5/1+2
-----------------
x-3
weiter komm ich nicht! hab ich einen komplett falschen ansatz oder könnte mir vielleicht jemand mal weiterhelfen????
lg britta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Benutze bitte den Formeleditor, ist übersichtlicher :)
[mm] f(x)=\bruch{5}{x+2}
[/mm]
Ein Punkt ist ja bei [mm] x_0=1. [/mm] Der andere ist erstmal beliebig.
[mm] m_s=\bruch{f(1)-f(x)}{1-x}=\bruch{\bruch{5}{3}-\bruch{5}{x+2}}{1-x}
[/mm]
(Bei dir steht da komischerweise eine 3 im Nenner)
Wenn x gegen 1 gehen soll, geht der Abstand zwischen x und 1 also gegen 0. Hattet ihr das mit der h-Methode?
1-x=h
x=1-h
[mm] m_s=\bruch{\bruch{5}{3}-\bruch{5}{3-h}}{h}=\bruch{5}{3h}-\bruch{5}{h(3-h)}
[/mm]
Das solltest du auf einen Hauptnenner bringen und dan solltest du ein paar hs kürzen. Dann kanst du den Limes für h->0 bilden und erhälst die Tangentensteigung an der Stelle 1.
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meinst du den hauptnenner 15? wir hatten das mit der h-schreibweise letzes jahr nämlich nciht, mein neuer lehrer setzt das aber vorraus!
was du aufgeschrieben hast kann cih auch nachvollziehen aber wie meinst du das genau mit dem auf den gleichen nenner?
 lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Teufel |
[mm] \bruch{5}{3h}-\bruch{5}{h(3-h)}
[/mm]
Der Hauptnenner wäre in dem Fall erst mal 3h*h(3-h).
Den linken Bruch musst du also womit erweitern? Und den rechten?
Wenn du das geschafft hast, dann musst du so lange hs rauskürzen (aus Zähler und Nenner), bis du ohne Gefahr h gegen 0 laufen lassen kannst (also dass im Nenner für h=0 nicht 0 rauskommt)!
Und die h-Methode ist nur eine Vereinfachung der Methode mit [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] bzw. [mm] x_P [/mm] und [mm] x_Q [/mm] oder wie ihr auch immer das vorher bezeichnet habt!
Da wird aus [mm] m_s=\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} [/mm] durch [mm] x_2-x_1=h [/mm] einfach nur [mm] m_s=\bruch{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}. [/mm] Und der eine Punkt nähert sich nicht mehr dem 2. an, sondern h geht gegen 0. Nur so als kleinen Crashkurs :P Kannst du ja an bekannten Funktionen wie f(x)=x² mal üben.
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ok also erweitern:
5* h(3-h) 5(3h)
-----------
3h*h(3-h) - h(3-h)* 3h
richtig ?:-p
so, wenn ich jetzt für h=0 ALles wegstreiche, dann bleibt doch garnix übrig?
ich weiß ich bin ein mathe-looser, aber wie gehts weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Ich merk grad, dass der Hauptnenner nich der optimalste ist, aber es geht auch damit!
[mm] \bruch{5}{3h}-\bruch{5}{h(3-h)}=\bruch{5*h(3-h)}{3h*h(3-h)}-\bruch{5*3h}{h(3-h)*3h}
[/mm]
[mm] =\bruch{5*h(3-h)-5*3h}{3h*h(3-h)}
[/mm]
[mm] =\bruch{15h-5h²-15h}{9h²-3h³}
[/mm]
[mm] =\bruch{-5h²}{9h²-3h³}
[/mm]
Dann klammert man oben und unten ein h² aus und kürzt es weg!
[mm] =\bruch{-5}{9-3h}
[/mm]
Nun ist es leicht zu sehen, was für h->0 rauskommt ;)
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mh ok ist nachzuvollziehen...
hab aber grad mal als kontrolle mit meinem TR gesehen, dass der da [mm] -5/x^2 [/mm] rausbekommt...kann doch irgentwie nicht oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Soll das die Ableitung der Funktion sein? Dann hast du sicher vergessen die Klammern um x+2 zu setzen!
Das mit den [mm] m_t=-\bruch{5}{9} [/mm] stimmt schon :)
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ok hast recht danke schonmal....
kannst du mir auch noch nen tipp zu der zweiten teilaufgabe geben=?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Fr 07.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Ok :)
Also, deine Tangente hat ja die Form t: y=mx+n.
Den Anstieg an der Stelle 1 hast du ja gegeben (eben ausgerechnet!)
Außerdem hast du noch den Punkt mit P(1|f(1)) gegeben (wobei du f(1) noch berechnen musst, was aber nicht so schwer sein sollte :P)
Wenn du nun Anstieg und Punkt in die allgemeine Tangentengleichung einsetzt kriegst du so noch dein n raus.
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