aufloesbare Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Fr 02.12.2011 | | Autor: | mapache |
| Aufgabe | | Zeigen sie (ohne Verwendung des Satzes von Burnside): Gruppen der Ordnung 75 und 100 sind aufloesbar. |
Meine Idee war die Gruppe [mm] $G_{75}$ [/mm] und [mm] $G_{100}$ [/mm] abzuleiten.
Das Problem dabei ist, dass sich eine Gruppe schlecht ableiten laesst, wenn man nicht weiss wie sie aussieht.
Eine Gruppe der Ordnung 100 waere [mm] $D_{50}$, [/mm] aber wie leite ich die ab?
Kann mir da jemand einen Tipp geben, bzw. gibt es vielleicht eine andere Moeglichkeit das zu zeigen??
ch habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=28201&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Fsearch%3Fq%3Dgruppe%2Bordnung%2B75%2Baufloesbar%26oe%3Dutf-8%26rls%3Dorg.mozilla%253Aen-US%253Aofficial%26client%3Dfirefox-a%26oq%3Dgruppe%2Bordnung%2B75%2Baufloesbar%26aq%3Df%26aqi%3D%26aql%3D%26gs_sm%3De%26gs_upl%3D231124l234083l0l234383l10l10l0l9l0l0l48l48l1l1l0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Fr 02.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen sie (ohne Verwendung des Satzes von Burnside):
> Gruppen der Ordnung 75 und 100 sind aufloesbar.
> Meine Idee war die Gruppe [mm]G_{75}[/mm] und [mm]G_{100}[/mm] abzuleiten.
>
> Das Problem dabei ist, dass sich eine Gruppe schlecht
> ableiten laesst, wenn man nicht weiss wie sie aussieht.
Hast du folgende Saetze in der Vorlesung?
* Ist $G$ eine Gruppe und $N$ ein Normalteiler, so ist $G$ genau dann aufloesbar, wenn sowohl $N$ wie auch $G/N$ aufloesbar sind.
* Die Sylow-Saetze.
(Den ersten Satz kannst du relativ einfach selber zeigen, zumindest die hier benoetigte Richtung: nimm dir Normalreihen von $N$ und $G/N$ und setz sie zusammen. Dafuer brauchst du den dritten Isomorphiesatz und die Korrespondenz von Untergruppen/Normalteilern in Quotientengruppen bzw. Bildern von Homomorphismen.)
In einer Gruppe $G$ der Ordnung 100 kannst du z.B. mit Sylow einen Normalteiler $N$ der Ordnung 25 finden. $N$ ist abelsch (da $|N| = [mm] 5^2$) [/mm] und somit aufloesbar, und $G/N$ ist ebenfalls abelsch (da $|G/N| = [mm] 2^2$) [/mm] und somit ebenfalls aufloesbar.
Bei $|G| = 75$ kannst du ebenfalls einen Normalteiler der Ordnung 25 finden und dann genauso vorgehen.
LG Felix
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Lieber Felix, wenn ich aber doch das Burnside Lemma nicht benutzen darf, wie kann ich denn dann zeigen dass N als Normalteiler von G auflösbar ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Fr 09.12.2011 | | Autor: | mapache |
Danke felixf! Habs hinbekommen.
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Klassengleichung