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| Aufgabe | Die Subtraktion zweier annahernd gleicher Zahlen fuhrt zur Stellenausloschung, wodurch Eingabefehler verstarkt werden. Dieses Problem ist somit schlecht konditioniert. Wann immer es daher moglich ist, sollte man die Subtraktion zweier annahernd gleicher Zahlen vermeiden.
Wir betrachten eine quadratische Gleichung
[mm] x^2 [/mm] - 2px + q = 0
die eine Nullstelle in der Nahe von Null besitzt. Es tritt somit Stellenausloschung bei folgender Berechnung der Nullstellen auf.
[mm] x_{1,2} [/mm] = p [mm] \pm \wurzel{p^2 - q}
[/mm]
Geben Sie eine ausloschungsfreie Formel der Nullstellen an, indem Sie ausnutzen, dass q das Produkt der Nullstellen ist (Satz von Vieta). |
Hallo miteinander,
nachdem ich mittlerweile seit über einer Stunde in Loch in meinen Block starre wollte ich fragen ob mir nicht jemand einen Wink mit dem Zaunpfahl geben könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich trete leider wie gesagt auf der Stelle, hab ein bisschen umgeformt
0 = [mm] (x-x_{1})*(x-x_{2}) [/mm] = [mm] x^2-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=
[/mm]
= [mm] x^2-(x_{1}+x_{2})x [/mm] + q
=> [mm] \bruch{(x^2+q)}{x} [/mm] = [mm] x_{1}+x_{2}
[/mm]
aber wie ich das auch dreh und umforme, ich seh da kein Land. Wäre wirklich net wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte. :)
mfg,
Kaffe
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Hallo Kaffetrinken, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du scheinst zur ![[]](/images/popup.gif) Haplographie zu neigen. 
> Die Subtraktion zweier annahernd gleicher Zahlen fuhrt zur
> Stellenausloschung, wodurch Eingabefehler verstarkt
> werden. Dieses Problem ist somit schlecht konditioniert.
> Wann immer es daher moglich ist, sollte man die
> Subtraktion zweier annahernd gleicher Zahlen vermeiden.
> Wir betrachten eine quadratische Gleichung
> [mm]x^2[/mm] - 2px + q = 0
> die eine Nullstelle in der Nahe von Null besitzt. Es
> tritt somit Stellenausloschung bei folgender Berechnung
> der Nullstellen auf.
> [mm]x_{1,2}[/mm] = p [mm]\pm \wurzel{p^2 - q}[/mm]
>
> Geben Sie eine ausloschungsfreie Formel der Nullstellen
> an, indem Sie ausnutzen, dass q das Produkt der Nullstellen
> ist (Satz von Vieta).
Woraus hast Du den Text denn kopiert?
> Hallo miteinander,
> nachdem ich mittlerweile seit über einer Stunde in Loch
> in meinen Block starre
Man kann die auch schon gelocht kaufen.
> wollte ich fragen ob mir nicht
> jemand einen Wink mit dem Zaunpfahl geben könnte.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich trete leider wie gesagt auf der Stelle, hab ein
> bisschen umgeformt
> 0 = [mm](x-x_{1})*(x-x_{2})[/mm] = [mm]x^2-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2}=[/mm]
> = [mm]x^2-(x_{1}+x_{2})x[/mm] + q
> => [mm]\bruch{(x^2+q)}{x}[/mm] = [mm]x_{1}+x_{2}[/mm]
> aber wie ich das auch dreh und umforme, ich seh da kein
> Land. Wäre wirklich net wenn mir jemand auf die Sprünge
> helfen könnte. :)
Hm. Das geht normalerweise über die dritte binomische Formel. Wenn man eine Rechnung vom Typ [mm] 1-\wurzel{1-\varepsilon} [/mm] hat, mit sehr kleinem [mm] \varepsilon [/mm] - und im Prinzip haben wir das hier -, dann macht man sich zunutze, dass
[mm] (1+\wurzel{1-\varepsilon})(1-\wurzel{1-\varepsilon}=1-(1-\varepsilon)=\varepsilon
[/mm]
Wenn Du das mal hier anwendest, kommst Du letztlich auf [mm] x_{1/2}=\bruch{2q}{-p\mp\wurzel{p^2-4q}}
[/mm]
Davon ist aber nur der eine Fall interessant, bei dem anderen tritt natürlich wieder Auslöschung ein.
Grüße
reverend
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Hallo referend, vielen Dank für deine Antwort.
a) Falls du mit Haplographie auf meinen Namen anspielst, das eine e ist gewollt, Alleinstellungsmerkmal und so. ;)
b) Das ist aus einem Numerik Übungsblatt
c) Zu deiner Anwort:
NAchdem ich 2 verschiedene Posts mit Fragen zu deiner Antwort geschrieben hab und jedesmal kurz vor absenden doch noch ein kleiner Groschen viel, glaube ich jetzt das ich sie verstanden habe. Allerdings fällt wie du schon gesagt hast nur in einem Fall die Auslöschung weg, und auserdem wurde in der Aufgabe explizit nach dem Satz von Vieta gefragt, und den hast du soweit ich sehen kann nicht benutzt (korrigier mich bitte falls ich da falsch lieg). Es wird ja gefordert das man verwenden soll das q = [mm] x_{1}x_{2} [/mm] ist.
Daher wäre ich für weiter Ideen dankbar.
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Hallo nochmal,
> Hallo reverend, vielen Dank für deine Antwort.
> a) Falls du mit Haplographie auf meinen Namen anspielst,
> das eine e ist gewollt, Alleinstellungsmerkmal und so. ;)
Aha. 
> b) Das ist aus einem Numerik Übungsblatt
...das offenbar digital vorliegt, vermutlich pdf?
> c) Zu deiner Anwort:
> NAchdem ich 2 verschiedene Posts mit Fragen zu deiner
> Antwort geschrieben hab und jedesmal kurz vor absenden doch
> noch ein kleiner Groschen viel, glaube ich jetzt das ich
> sie verstanden habe. Allerdings fällt wie du schon gesagt
> hast nur in einem Fall die Auslöschung weg, und auserdem
> wurde in der Aufgabe explizit nach dem Satz von Vieta
> gefragt, und den hast du soweit ich sehen kann nicht
> benutzt (korrigier mich bitte falls ich da falsch lieg).
Die sog. p-q-Formel basiert ja auf dem Satz von Vieta, insofern also schon.
> Es
> wird ja gefordert das man verwenden soll das q = [mm]x_{1}x_{2}[/mm]
> ist.
Da hast Du natürlich Recht, das habe ich nicht verwendet. Ich bin nur davon ausgegangen, dass eine Nullstelle sehr nah bei Null liegt und daher [mm] |p|\gg|q| [/mm] gilt, was man aber wieder mit Vieta zeigen würde.
Man könnte nun in guter Näherung mit [mm] x_1\approx{p} [/mm] agieren und bekäme [mm] x_2\approx\bruch{q}{p}. [/mm] Das scheint die Aufgabe aber nicht von Dir zu wollen. Auslöschungsfehler sind noch kleiner, und um sie zu vermeiden, braucht man eben eine mathematisch exakte Lösung, die die Subtraktion fast gleich großer Zahlen ausschließt.
> Daher wäre ich für weiter Ideen dankbar.
Ich auch. Darum lasse ich die Frage halboffen, dann bleibt sie sichtbar.
Grüße
reverend
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Hallo Kaffeetrinken,
> Hallo referend, vielen Dank für deine Antwort.
> a) Falls du mit Haplographie auf meinen Namen anspielst,
> das eine e ist gewollt, Alleinstellungsmerkmal und so. ;)
> b) Das ist aus einem Numerik Übungsblatt
> c) Zu deiner Anwort:
> NAchdem ich 2 verschiedene Posts mit Fragen zu deiner
> Antwort geschrieben hab und jedesmal kurz vor absenden doch
> noch ein kleiner Groschen viel, glaube ich jetzt das ich
> sie verstanden habe. Allerdings fällt wie du schon gesagt
> hast nur in einem Fall die Auslöschung weg, und auserdem
> wurde in der Aufgabe explizit nach dem Satz von Vieta
> gefragt, und den hast du soweit ich sehen kann nicht
> benutzt (korrigier mich bitte falls ich da falsch lieg). Es
> wird ja gefordert das man verwenden soll das q = [mm]x_{1}x_{2}[/mm]
> ist.
> Daher wäre ich für weiter Ideen dankbar.
Die grundlegende Formel zur Berechnung der zweiten Nullstelle lautet:
[mm]x_{3-k}=\bruch{q}{x_{k}}, \ k \in \left\{1,2\right\}[/mm]
Dabei ist k so zu wählen, daß die entspechende Nullstelle
aus Summanden gleichen Vorzeichens berechnet wird.
Gruss
MathePower
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