basis des R^n < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 So 22.11.2009 | | Autor: | Hummel89 |
| Aufgabe | | Sei n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 3 und seien [mm] v_1 [/mm] = (1,2,...,n-1,n) und [mm] v_2=(1,2,...,n-1,n+1) [/mm] Vektoren des [mm] \IR^n. [/mm] Ergänzen Sie [mm] v_1,v_2 [/mm] zu einer Basis des [mm] R^n. [/mm] |
Hallo, zu dieser Aufgabe habe ich ein paar Fragen. Ich würde mich freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könntet.
1.Ist es richtig, dass meine Basis n Vektoren bräuchte? Denn im [mm] \IR^2 [/mm] hat man ja zwei unabhängige Vektoren als Basis und im [mm] \IR^3 [/mm] 3 unabhängige Vektoren. Das wäre für mich irgendwie am einleuchtendsten, aber ich weiß nicht, wie ich n Vektoren darstellen sollte. Oder dürfte man bei der Angabe der Basis auch ein paar Punkte zwischen den Vektoren setzen, um anzuzeigen, dass es bis zum n-ten Vektor so weitergeht?
2. Die beiden Vektoren sind ja auf jeden Fall schon mal linear unabhängig, da ich mit n ja nicht n+1 darstellen kann, wenn n größer als 1 ist. Nun muss man also rausfinden, wie die anderen aussehen. Spielt man dieses n+1 und n-1 Spiel etwa selber ein wenig weiter, damit jede Zeile erzeugt werden kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:14 Mo 23.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja du brauchst weiter n-2 Vektoren. überleg mal wieviele du davon aus der üblichen Basis nehen kannst . und dann kannst du das ziemlich allgemein , oder eben mit Pünktchen ausdrücken.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Hummel89 |
Ich habe das mal auf das Beispiel des [mm] \IR^4 [/mm] übertragen. Da hätte man ja die beiden Vektoren [mm] v_1=(1,2,3,4) [/mm] und [mm] v_2=(1,2,3,5). [/mm] Und durch die beiden kann auf jeden Fall (0,0,0,1) als Einheitsvektor des Vektorraums erzeugen. Nun müsste man noch zwei der restlichen Einheitsvektoren hinzufügen, damit man in einem linearen Gleichungssystem aus [mm] v_1 [/mm] auch noch den letzten Einheitsvektor bilden kann.
Würde man nun die beiden Vektoren (1,0,0,0) und (0,1,0,0) hinzufügen, dann hätte man das lineare Gleichungssystem
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 }
[/mm]
Nach Umformen der Matrix erhalte ich
A'= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Also wäre [mm] Lin\{v_1,v_2,v_3,v_4\} [/mm] = [mm] \IR^4
[/mm]
Also könnte ich daraus schlussfolgern, dass die Basis des [mm] \IR [/mm] mit [mm] v_1,v_2 [/mm] die folgende wäre:
[mm] \{(1,0,...,0),(0,1,...,0),....,v_1,v_2\}
[/mm]
Wäre das korrekt? Müsste man das noch irgendwie beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Mo 23.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass die erstn n-2 Vektoren lin unabh. sind weiss man ja schon. Dann musst du noch zeigen, dass die auf keine Weise v1 und v2 oder ne Kombination von v1 und v2 erzeugen können, dass also alle n lin unabh. sind.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Hummel89 |
Wie könnte man da anfangen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mo 23.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
überleg dir wie dus in R°4 gemacht hast, und wie einfach das war! oder zeig, dass du aus v1 und v2 die 2 noch fehlendne alten Basisvektoren machen kannst.
Gruss leduart
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