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| Aufgabe | Betrachten Sie im [mm] \IR^{5} [/mm] die Unterräume
U:=Lin [mm] (\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1},\vektor{2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}) [/mm] und W:=Lin [mm] (\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1},\vektor{3 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 2},\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1})
[/mm]
Bestimmen Sie eine Basis von U + W und berechnen Sie die Dimension von U [mm] \cap [/mm] W. Bestimmen Sie auch eine Basis von U [mm] \cap [/mm] W. |
Nun zu meiner ersten Frage:
1. Wenn ich die Dimension von U [mm] \cap [/mm] W ermitteln will, brauche ich ja lediglich die Dimension von U + W zu berechnen und dann die Dimensionsformel zu verwenden, denke ich. Da der Zeilenrang gleich dem Spaltenrang ist, ist es hier ja erstmal egal, wie ich die Matrix aufstelle.
Wenn ich sie aber so aufstelle:
1 1 1 0 1
2 1 0 0 1
0 0 1 0 0
1 1 0 0 1
3 2 0 0 2
0 1 1 1 1
wäre das nicht besser, da ich dann gleich eine Basis für U + W ablesen kann?
Weil dann würde ich am Ende rauskriegen, dass die letzten beiden Zeilen Nullzeilen sind, also abhängig sind. Kann ich dann nicht einfach sagen, eine Basis von U + W wäre: [mm] {\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1},\vektor{2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}}, [/mm] da die anderen beiden Vektoren sich mit diesen darstellen ließen? Oder kann man sich sogar 4 beliebige Vektoren aussuchen aus den 6?
Und wäre die Dimension von U [mm] \cap [/mm] W dann einfach 2? Denn es gilt ja
[mm] dim(U_1 \cap U_2) [/mm] = [mm] dim(U_1) [/mm] + [mm] dim(U_2) [/mm] - [mm] dim(U_1 [/mm] + [mm] U_2)
[/mm]
[mm] dim(U_1 \cap U_2) [/mm] = 3 + 3 - 4
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Hallo!
> Betrachten Sie im [mm]\IR^{5}[/mm] die Unterräume
>
> U:=Lin [mm](\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1},\vektor{2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0})[/mm]
> und W:=Lin [mm](\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1},\vektor{3 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 2},\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1})[/mm]
>
> Bestimmen Sie eine Basis von U + W und berechnen Sie die
> Dimension von U [mm]\cap[/mm] W. Bestimmen Sie auch eine Basis von U
> [mm]\cap[/mm] W.
> Nun zu meiner ersten Frage:
>
> 1. Wenn ich die Dimension von U [mm]\cap[/mm] W ermitteln will,
> brauche ich ja lediglich die Dimension von U + W zu
> berechnen und dann die Dimensionsformel zu verwenden, denke
> ich.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
> Da der Zeilenrang gleich dem Spaltenrang ist, ist es
> hier ja erstmal egal, wie ich die Matrix aufstelle.
Genau!
> Wenn ich sie aber so aufstelle:
>
> 1 1 1 0 1
> 2 1 0 0 1
> 0 0 1 0 0
> 1 1 0 0 1
> 3 2 0 0 2
> 0 1 1 1 1
>
> wäre das nicht besser, da ich dann gleich eine Basis für
> U + W ablesen kann?
Genau 
> Weil dann würde ich am Ende rauskriegen, dass die letzten
> beiden Zeilen Nullzeilen sind, also abhängig sind.
Bei deiner Rechnung ist das so, aber wahrscheinlich erst nach Zeilenvertauschungen!
Es stimmt aber, dass Dimension 4 herauskommt.
> Kann
> ich dann nicht einfach sagen, eine Basis von U + W wäre:
> [mm]{\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1},\vektor{2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1},\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}},[/mm]
> da die anderen beiden Vektoren sich mit diesen darstellen
> ließen?
Nein, das ist falsch. Der vierte lässt sich aus dem ersten und dritten linear kombinieren.
Du kannst nicht einfach irgendwelche Vektoren aus den Sechsen aussuchen. (In gewisser Weise waren die, die du oben hingeschrieben hast, auch willkürlich, weil der Zusammenhang mit den Nullzeilen-Entstehungen nach Zeilenvertauschung keinen Sinn mehr macht ).
Du solltest einfach die Matrix, die du oben hingeschrieben hast, auf Zeilenstufenform bringen.
Dann hast du doch automatisch eine Basis gefunden (du musst natürlich die Vektoren wieder entsprechend "umschreiben", also die Zeilen wieder zu Spalten machen).
> Und wäre die Dimension von U [mm]\cap[/mm] W dann einfach 2? Denn
> es gilt ja
>
> [mm]dim(U_1 \cap U_2)[/mm] = [mm]dim(U_1)[/mm] + [mm]dim(U_2)[/mm] - [mm]dim(U_1[/mm] + [mm]U_2)[/mm]
>
> [mm]dim(U_1 \cap U_2)[/mm] = 3 + 3 - 4
Wahrscheinlich stimmt es; ich überlasse dir jetzt nochmal das Nachrechnen, ob die drei jeweiligen Vektoren, mit denen U und W definiert sind, linear unabhängig sind (Sonst bilden sie ja keine Basis. Du musst aber eine Basis vorliegen haben, um die Dimension zu bestimmen).
Grüße,
Stefan
PS.: Ein kleiner "Trick" zum Bestimmen einer Basis des Schnitts der beiden Vektorräume:
Führe den Gaußalgorithmus für die Bestimmung einer Basis von U+W von oben so durch, dass du keine Zeilen vertauschst, und strikt die drei Vektoren (die ersten drei Zeilen) des einen Vektorraums von den anderen z.B. mit einem Strich trennst.
Dann führe nur Eliminationen mit den ersten drei Zeilen (also den Vektoren von U) durch.
Die Vektoren (Zeilen) vom Vektorraum W (also die 4. bis 6. Zeile), die dadurch zu Nullzeilen werden, sind Basisvektoren von U [mm] \cap [/mm] W.
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Also, das mit den Zeilenvertauschen hatte ich gar nicht bedacht. Also war meine Lösung natürlich Nonsens. Ich habe es nochmal durchgerechnet und alle Zeilen so gelassen und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
1 1 1 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 -1 -3 0 -1
0 0 0 1 0
Also würde eine mögliche Basis aus den ersten beiden und den beiden letzten Vektoren bestehen. Diesmal habe ich auch geschaut, ob sie linear unabhängig sind und es kam genau hin.
Nun zu deinem Trick bei der Basis des Schnittraums: Ich hab' die letzten Tage immer die ganzen Sachen da versucht zu verstehen, wie man die Basis genau ermittelt. Man muss hierbei ja scheinbar die beiden Unterräume "schneiden", also gleichsetzen, aber das ist mir bei denen hier nicht gelungen.
Nun habe ich es nach deiner Anleitung gemacht und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
1 1 1 0 1
2 1 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 1 1 1
Also wäre eine Basis von der Schnittmenge von U [mm] \caps [/mm] W einfach { [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1},\vektor{3 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 2} [/mm] }.
Ich habe mal in den Lösungen nachgeschaut und das stimmt wohl genau so. Nun kommt mir das aber recht simpel vor und ich bin gerade echt dankbar, dass du mir das erklärt hast, aber ich stell sicherheitshalber nochmal zwei Fragen dazu
1. Klappt das wirklich immer? Also lässt sich eine Basis für den Schnittraum immer mit einigen von denen des einen Unterraums darstellen?
2. Wieso darf ich bei den oberen drei nichts verändern? Bei meiner Lösung ohne den "Strich" kam ich ja auch auf genau diese beiden Nullzeilen. Wird wohl einfach Zufall sein, aber hat das irgendeinen bestimmten Grund, dass das so funktioniert?
Auf jeden Fall vielen Dank, du warst wirklich unglaublich hilfreich. Das hat mich sehr weitergebracht.
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> Also, das mit den Zeilenvertauschen hatte ich gar nicht
> bedacht. Also war meine Lösung natürlich Nonsens. Ich
> habe es nochmal durchgerechnet und alle Zeilen so gelassen
> und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
>
> 1 1 1 0 1
> 0 0 1 0 0
> 0 0 0 0 0
> 0 0 0 0 0
> 0 -1 -3 0 -1
> 0 0 0 1 0
>
> Also würde eine mögliche Basis aus den ersten beiden und
> den beiden letzten Vektoren bestehen. Diesmal habe ich auch
> geschaut, ob sie linear unabhängig sind und es kam genau
> hin.
Gut
Ich habe dir aber nicht verboten, Zeilen zu vertauschen.
Du darfst das ruhig tun. Gesucht ist ja hier bloß eine Basis.
Wenn du den Gaußalgorithmus auf die 6 Vektoren in der Matrix anwendest, veränderst du dadurch nicht den Raum, der durch die Vektoren aufgespannt wird. Das bedeutet, wenn du die Matrix richtig auf Zeilenstufenform bringst (auch mit Vertauschen und allem!), spannen die einzelnen Vektoren in den Zeilen immer noch denselben Raum auf wie die Ausgangsvektoren.
Du kannst dann also einfach all' die "Vektor-Zeilen", die nicht Nullzeilen sind, in ein Tupel schreiben; das ist dann deine Basis.
Ich mach' dir das mal vor:
[mm] \pmat{
1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
3 & 2 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
}
[/mm]
[mm] \to \pmat{
1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & -2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & -3 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
}
[/mm]
[mm] \to \pmat{
1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & -2 & 0 & -1 \\
0 & -1 & -3 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
}
[/mm]
[mm] \to \pmat{
1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & -2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
}
[/mm]
[mm] \to \pmat{
1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\
0 & -1 & -2 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
}
[/mm]
... Also bilden die vier Vektoren als Tupel [mm] \left(\vektor{1\\1\\1\\0\\1}, \vektor{0\\-1\\-2\\0\\-1}, \vektor{0\\0\\-1\\0\\0}, \vektor{0\\0\\0\\1\\0}\right) [/mm] eine Basis von U+W.
Bei dieser Variante bin ich mir zumindest 100% sicher, dass sie immer funktioniert, auch wenn die auftretenden Basisvektoren nicht mehr unbedingt den Ausgangsvektoren entsprechen (was aber nicht schlimm ist!).
Bei deiner Variante bin ich mir nicht so sicher, ob sie immer funktioniert (und ich finde jetzt auch keine "schnelle" Bestätigung.
> Nun zu deinem Trick bei der Basis des Schnittraums: Ich
> hab' die letzten Tage immer die ganzen Sachen da versucht
> zu verstehen, wie man die Basis genau ermittelt. Man muss
> hierbei ja scheinbar die beiden Unterräume "schneiden",
> also gleichsetzen, aber das ist mir bei denen hier nicht
> gelungen.
>
> Nun habe ich es nach deiner Anleitung gemacht und bin auf
> folgendes Ergebnis gekommen:
>
> 1 1 1 0 1
> 2 1 0 0 1
> 0 0 1 0 0
>
> 0 0 0 0 0
> 0 0 0 0 0
> 0 1 1 1 1
>
> Also wäre eine Basis von der Schnittmenge von [mm] U\caps [/mm] W
> einfach { [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1},\vektor{3 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
> }.
>
> Ich habe mal in den Lösungen nachgeschaut und das stimmt
> wohl genau so.
Wunderbar
> Nun kommt mir das aber recht simpel vor und
> ich bin gerade echt dankbar, dass du mir das erklärt hast,
> aber ich stell sicherheitshalber nochmal zwei Fragen dazu
>
> 1. Klappt das wirklich immer? Also lässt sich eine Basis
> für den Schnittraum immer mit einigen von denen des einen
> Unterraums darstellen?
Ich möchte zunächst darlegen, wie man es eigentlich machen würde:
Wenn wir die Unterräume U und W (und möglichst Basen davon) gegeben haben, wollen wir nun [mm] U\cap [/mm] W bestimmen.
Die Idee ist: Wir bilden zunächst alle möglichen Linearkombinationen von U, und alle möglichen von W, uns setzen diese gleich. Mit anderen Worten: Wir betrachten alle möglichen Vektoren, die in U liegen, und setzen diese gleich mit allen möglichen Vektoren, die in W liegen. Wenn diese Gleichungen Lösungen haben sollte, bedeutet das, dass es Vektoren gibt, die auf beiden Seiten der Gleichung (also sowohl in U als auch in W !) auftreten können. Diese Vektoren liegen dann gerade im Schnitt.
Das ist der Weg, wie man ihn normalerweise machen würde. Ich denke, hier ist es auch einleuchtend, warum er funktioniert. Es ist im Grund wie in der Schule mit zwei Funktionen f(x) und g(x): Ich setze f(x) = g(x), wenn ich alle Schnittpunkte finden möchte.
Wie macht man das rechnerisch: Links auf die Seite der Gleichung schreiben wir die Vektoren von U mit Skalaren davor, rechts die von W mit Skalaren davor:
[mm] $\lambda_{1}*\vektor{1\\1\\1\\0\\1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\vektor{2\\1\\0\\0\\1} [/mm] + [mm] \lambda_{3}*\vektor{0\\0\\1\\0\\0} [/mm] = [mm] \mu_{1}*\vektor{1\\1\\0\\0\\1} [/mm] + [mm] \mu_{2}*\vektor{3\\2\\0\\0\\2} [/mm] + [mm] \mu_{3}*\vektor{0\\1\\1\\1\\1}$ [/mm] (*)
Nun bringen wir alles auf eine Seite:
[mm] $\lambda_{1}*\vektor{1\\1\\1\\0\\1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\vektor{2\\1\\0\\0\\1} [/mm] + [mm] \lambda_{3}*\vektor{0\\0\\1\\0\\0} +\mu_{1}*(-\vektor{1\\1\\0\\0\\1}) [/mm] + [mm] \mu_{2}*(-\vektor{3\\2\\0\\0\\2}) +\mu_{3}*(-\vektor{0\\1\\1\\1\\1}) [/mm] = 0$
Ich habe das natürlich nicht umsonst so komisch mit den Minussen geschrieben: Was jetzt im Grunde vorliegt, ist ein lineares Gleichungssystem, und zwar in den Skalaren. Wir haben im Grunde fünf Gleichungen, durch jede Komponente entsteht eine. Z.B. durch die erste Komponente:
[mm] $1*\lambda_{1} [/mm] + [mm] 2*\lambda_{2}+(-1)*\mu [/mm] + [mm] (-3)*\mu_{2} [/mm] = 0$
Ausgedrückt als Matrix sieht dieses LGS jetzt so aus (Die Vektoren von U und W stehen spaltenweise drin!)
[mm] \pmat{
1 & 2 & 0 & -1 & -3 & 0 \\
1 & 1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 0 & -1 & -2 & -1 \\
}*\vektor{\lambda_{1}\\ \lambda_{2}\\ \lambda_{3} \\ \mu_{1}\\ \mu_{2}\\ \mu_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0\\0\\0}
[/mm]
Nun löst du das LGS, und setzt die Lösungen für [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3} [/mm] für die linke Seite ganz oben in (*) ein, und schon erhältst du alle möglichen Vektoren, die im Schnitt liegen.
Also hier: [mm] $\lambda_{1}*\vektor{1\\1\\1\\0\\1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\vektor{2\\1\\0\\0\\1} [/mm] + [mm] \lambda_{3}*\vektor{0\\0\\1\\0\\0}$
[/mm]
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Nun die spannendere Frage: Warum funktioniert meine (selbst ausgedachte ) Variante:
Indem ich dir "verboten" habe, die Vektoren zu vertauschen und nur die oberen drei zu benutzen, um die unteren drei zu eliminieren, hast du im Grunde nichts anderes gemacht als folgendes Problem zu lösen:
Du hast die drei Vektoren aus U, [mm] \vektor{1\\1\\1\\0\\1},\vektor{2\\1\\0\\0\\1},\vektor{0\\0\\1\\0\\0}, [/mm] zur Verfügung und sollst nun zum Beispiel den Vektor [mm] \vektor{1\\1\\0\\0\\1} [/mm] aus W mit diesen versuchen zu eliminieren.
Wenn es dir gelingt, und er wird im Verlauf des (eingeschränkten) Gauß-Algorithmus zur Nullzeile, bedeutet das nichts anderes, als das er in der linearen Hülle der drei Vektoren von U liegt, mit anderen Worten, er könnte aus den Vektoren von U kombiniert werden. Es handelte sich aber um einen Vektor aus W. Das bedeutet, dass dieser Vektor [mm] \vektor{1\\1\\0\\0\\1} [/mm] von W auch in U liegt. Alle Vielfachen von [mm] \vektor{1\\1\\0\\0\\1} [/mm] liegen dann natürlich auch in U und in W.
Genauso habe ich dich mit den anderen Vektoren verfahren lassen. Indem also Vektoren von W zu Nullzeilen werden, bedeutet das nichts anderes, als dass diese auch in U liegen, und alle ihre Vielfachen. Die Menge der zu Nullzeilen gewordenen Vektoren ist also ein Erzeugendensystem von [mm] U\cap [/mm] W.
Ist dir jetzt klarer, warum das Verfahren auch wirklich immer funktioniert ?
Beide Verfahren sind also, so finde ich, durchaus intuitiv (und im Grunde verfolgen sie dieselbe Idee!), nur ist das eine leichter.
> 2. Wieso darf ich bei den oberen drei nichts verändern?
> Bei meiner Lösung ohne den "Strich" kam ich ja auch auf
> genau diese beiden Nullzeilen. Wird wohl einfach Zufall
> sein, aber hat das irgendeinen bestimmten Grund, dass das
> so funktioniert?
Du darfst auch an den oberen dreien verändern, was du möchtest. Das einzige, was du nicht darfst, ist Zeilenvertauschen und die unteren dazu benutzen, die oberen zu eliminieren.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:44 Di 23.02.2010 | | Autor: | Der_Marder |
Vielen, vielen Dank. Das war eine sehr gute Erklärung und du hast mir sehr geholfen. (:
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