bedingte Erwartungswerte < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Do 23.09.2010 | | Autor: | chris3 |
Hallo Leute!
Ich brauch mal wieder eure Hilfe:
Wenn ich eine Zufallsvariable X habe, die messbar bezügl der von der Zufallsvariablen A erzeugten Sigmal-Algebra ist. Wenn ich nun eine weitere Zufallsvariable B habe und mir die von A und B erzeugte SigmaAlgebra betrachte, ist dann X bzgl dieser Sigma-Algebra auch messbar??? Gilt also:
E[X|A,B] = E[X], wenn X nur bzgl A messbar ist?
Ich freue mich auf eure Antworten!!!
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Do 23.09.2010 | | Autor: | chris3 |
ups: es sollte heißen:
E[X|A,B] = X??
Mit den Voraussetzungen an X weiß ich, dass gilt
E[X|A] = X
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Do 23.09.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo chris3,
> Wenn ich eine Zufallsvariable X habe, die messbar bezügl
> der von der Zufallsvariablen A erzeugten Sigmal-Algebra
> ist. Wenn ich nun eine weitere Zufallsvariable B habe und
> mir die von A und B erzeugte SigmaAlgebra betrachte, ist
> dann X bzgl dieser Sigma-Algebra auch messbar??? Gilt also:
> E[X|A,B] = E[X], wenn X nur bzgl A messbar ist?
Die von A und B erzeugte [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist ja größer als die nur von A erzeugte: [mm]\sigma(A)\subset \sigma(A,B)[/mm]
Es sei [mm]X: (\Omega,\mathcal{A})\to(\Omega',\mathcal{A}')[/mm] (also [mm]\mathcal{A}'[/mm] die [mm]\sigma[/mm]-Algebra des Bildraums)
Damit gilt:
[mm]X^{-1}(A')\in \sigma(A)[/mm] für alle [mm]A'\in\mathcal{A}'[/mm], (Definition der [mm](\sigma(A),\mathcal{A}')[/mm]-Mewssbarkeit von [mm]X[/mm])
[mm]\Rightarrow\ X^{-1}(A')\in \sigma(A,B)[/mm] für alle [mm]A'\in\mathcal{A}'[/mm], da [mm]\sigma(A)\subset \sigma(A,B)[/mm]
Also ist [mm]X[/mm] auch [mm]\sigma(A,B)[/mm]-messbar.
Es müsste daher in der Tat (siehe deine Korrekturmitteilung) gelten
[mm]E[X|A,B]=E[X|A]=X[/mm]
-Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 So 26.09.2010 | | Autor: | chris3 |
super! Danke für deine Antwort!!
Chris
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