bedingte Wahrscheinlichkeit < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 So 30.10.2011 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Berechnen Sie bei einem üblichen Skatspiel (32 Karten) die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
A: Im Skat liegen zwei Kreuz-Karten
B: Im Skat liegt ein Ass.
C: Im Skat liegt genau ein Bube
Eine Karte im Skat ist ein Bube. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch die andere Karte ein Bube ist ? |
Hallo zusammen,
die Wahrscheinlichkeiten können als "Ziehung mit einem Griff" aus einer Urne mit 32 Kugeln interpretiert werden.
Mit der Wahrscheinlichkeit von A bis C habe ich auch keine Schwierigkeiten.
z.B. wäre [mm] P(C)=\bruch{\vektor{4 \\1}\vektor{28 \\1}}{\vektor{32 \\2}}
[/mm]
Bezüglich der letzten Frage, bei der es ja um eine bedingte Wahrscheinlichkeit geht, habe ich eine Frage:
Muss ich hier als Bedingungsereignis ansetzen, dass im Skat GENAU EIN BUBE liegt (also das Ereignis C) oder dass im Skat MINDESTENS EIN BUBE liegt (also die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis C addiert mit der Wahrscheinlichket des Ereignisses, dass im Skat 2 Buben sind ?)
Meine Meinung wäre, dass ich als Bedingung MINDESTENS EIN BUBE nehmen muss, denn wenn die Bedingung "GENAU EIN BUBE" wäre dann wäre ja die zu berechnende Wahrscheinlichkeit, dass 2 Buben im Skat liegen = 0, richtig ?
Im Zähler der zu berechnenden Wahrscheinlichkeit steht dann P("im Skat liegen 2 Buben") und im Nenner P("im Skat liegt mindestens ein Bube").
Ist das richtig so ?
Vielen Dank für Eure Antwort.
Viele Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 So 30.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Rubi,
ich habe noch nie Skat gespielt, aber offensichtlich besteht ein Skat aus genau zwei Karten?
> die Wahrscheinlichkeiten können als "Ziehung mit einem
> Griff" aus einer Urne mit 32 Kugeln interpretiert werden.
> Mit der Wahrscheinlichkeit von A bis C habe ich auch keine
> Schwierigkeiten.
>
> z.B. wäre [mm]P(C)=\bruch{\vektor{4 \\1}\vektor{28 \\1}}{\vektor{32 \\2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bezüglich der letzten Frage, bei der es ja um eine
> bedingte Wahrscheinlichkeit geht, habe ich eine Frage:
> Muss ich hier als Bedingungsereignis ansetzen, dass im
> Skat GENAU EIN BUBE liegt (also das Ereignis C) oder dass
> im Skat MINDESTENS EIN BUBE liegt (also die
> Wahrscheinlichkeit vom Ereignis C addiert mit der
> Wahrscheinlichket des Ereignisses, dass im Skat 2 Buben
> sind ?)
>
> Meine Meinung wäre, dass ich als Bedingung MINDESTENS EIN
> BUBE nehmen muss, denn wenn die Bedingung "GENAU EIN BUBE"
> wäre dann wäre ja die zu berechnende Wahrscheinlichkeit,
> dass 2 Buben im Skat liegen = 0, richtig ?
Ja. Mit der Information "eine Karte im Skat ist ein Bube" ist wohl das Ereignis "mindestens ein Bube im Skat" gemeint und nicht das Ereignis "genau ein Bube im Skat".
> Im Zähler der zu berechnenden Wahrscheinlichkeit steht
> dann P("im Skat liegen 2 Buben") und im Nenner P("im Skat
> liegt mindestens ein Bube").
>
> Ist das richtig so ?
Ja.
Jetzt noch eine gewisse Einschränkung, die mehr die unpräzise Aufgabenstellung als deine Vorgehensweise betrifft:
Es macht einen Unterschied, ob mit der Information "eine Karte im Skat ist ein Bube" tatsächlich "mindestens eine Karte im Skat ist ein Bube" oder aber "die erste Karte im Skat ist ein Bube" gemeint ist.
Ersteres wäre z.B. der Fall, wenn ein Spielleiter sich beide Karten des Skats anguckt und dann mitteilt, ob sich mindestens ein Bube darunter befindet. Letzteres wäre der Fall, wenn der Spielleiter sich nur eine der beiden Karte anguckt und mitteilt, ob es sich um einen Buben handelt.
Welche der beiden Varianten der Aufgabensteller tatsächlich meinte, weiß ich nicht.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Fr 10.02.2012 | | Autor: | mathemak |
Hallo Tobias!
>
> Welche der beiden Varianten der Aufgabensteller
> tatsächlich meinte, weiß ich nicht.
>
Eigentlich sollte die Aufgabe so formuliert sein, dass nach der Pfadwahrscheinlichkeit = bedingte Wahrscheinlichkeit in der 2. Stufe gefragt sind, also nach [mm] $\frac{3}{31}$. [/mm] War sie aber nicht.
Die Aufgabe stammt aus der letzten Abiturprüfung der beruflichen Gymnasien in Baden-Württemberg.
Gruß
mathemak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mo 31.10.2011 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | Beim Skatspiel besteht ein Spielkartensatz aus 32 Karten.
Die Kartenwerte 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass gibt es in jeder der vier Spielafrben Karo, Herz, Pik und Kreuz.
Berechnen sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
A: Im Skat liegten zwei Kreuz-Asse
B: Im Skat liegt kein Ass
C: Im Skat liegt genau ein Bube
Eine Karte im Skat ist ein Bube. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch die andere Karte ein Bube ist ? |
Hallo zusammen,
da ich nicht unbedingt voraussetzen kann, dass alle Mitglieder des Forums Skat spielen, habe ich die Aufgabenstellung nun exakt angegeben.
Hinsichtlich der bedingten Wahrscheinlichkeit in der letzten Frage tue ich mich noch schwer, vor allem, da mir nun zwei verschiedene Lösungen vorliegen, von denen ich nicht weiß, welche die richtige ist.
Die Ereignisse A und B sind klar.
Für das Ereignis C erhalte ich [mm] P(C)=\bruch{7}{31} [/mm] das stimmt soweit auch.
Ich habe mir nun folgendes überlegt:
Ereignis D: Im Skat liegen 2 Buben
Ereignis E: Im Skat liegt mindestens ein Bube
gesucht wäre dann [mm] P_E(D) [/mm] = [mm] \bruch{P(D\cap E)}{P(E)} [/mm] wobei [mm] P(D\cap [/mm] E)=P(D) wäre mit P(D) = [mm] \bruch{3}{248}
[/mm]
Desweiteren ist P(E) = P(C) + P(D) = [mm] \bruch{7}{31}+\bruch{3}{248}=\bruch{59}{248}
[/mm]
Insgesamt wären dies dann [mm] P_E(D) [/mm] = [mm] \bruch{3}{59}
[/mm]
In einem Buch finde ich für die Frage der bedingten Wahrscheinlichkeit jedoch folgende Lösung:
Es sei
E: Ein Karte im Skat ist ein Bube
D: Die 2.Karte ist auch ein Bube
[mm] P_E(D)=\bruch{P(D\cap E)}{P(E)} =\bruch{\bruch{4}{32}*\bruch{3}{31}}{\bruch{4}{32}}=\bruch{3}{31}
[/mm]
Wenn ich die beiden Lösungen vergleiche, dann habe ich im Nenner unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.
Ich nehme an, das liegt daran, dass die Formulierung in der Aufgabe ("Eine Karte im Skat ist ein Bube") ungenau ist, oder ?
Welches ist die richtige Wahrscheinlichkeit ?
Vielen Dank für eure Antworten
Viele Grüße
Rubi
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> C: Im Skat liegt genau ein Bube
Das heißt: Du ziehst zwei Karten. Dann gibt es folgende Möglichkeiten.
1.) Die erste Karte ist ein Bube, und die zweite Karte ist kein Bube
2.) Die erste Karte ist kein Bube, und die zweite Karte ist ein Bube
Die Wahrscheinllichkeit zu 1.) ist: [mm] \bruch{4}{32}*\bruch{28}{31}
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit zu 2.) ist: [mm] \bruch{28}{32}*\bruch{4}{31}
[/mm]
Und nun rechnest du das aus und addierst noch beides zusammen.
> Eine Karte im Skat ist ein Bube. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass auch die andere Karte ein Bube ist
Dann sind von 31 Karten noch 3 Buben im Spiel (da ja bereits 1 Bube im Skat liegt)
Also ist die Wahrscheinlichkeit [mm] \bruch{3}{31}
[/mm]
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> Beim Skatspiel besteht ein Spielkartensatz aus 32 Karten.
> Die Kartenwerte 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass gibt
> es in jeder der vier Spielafrben Karo, Herz, Pik und Kreuz.
> Berechnen sie die Wahrscheinlichkeiten folgender
> Ereignisse:
> A: Im Skat liegten zwei Kreuz-Asse
> B: Im Skat liegt kein Ass
> C: Im Skat liegt genau ein Bube
>
> Eine Karte im Skat ist ein Bube. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass auch die andere Karte ein Bube ist
> ?
> Hallo zusammen,
>
> da ich nicht unbedingt voraussetzen kann, dass alle
> Mitglieder des Forums Skat spielen, habe ich die
> Aufgabenstellung nun exakt angegeben.
>
> Hinsichtlich der bedingten Wahrscheinlichkeit in der
> letzten Frage tue ich mich noch schwer, vor allem, da mir
> nun zwei verschiedene Lösungen vorliegen, von denen ich
> nicht weiß, welche die richtige ist.
>
> Die Ereignisse A und B sind klar.
>
> Für das Ereignis C erhalte ich [mm]P(C)=\bruch{7}{31}[/mm] das
> stimmt soweit auch.
>
> Ich habe mir nun folgendes überlegt:
> Ereignis D: Im Skat liegen 2 Buben
> Ereignis E: Im Skat liegt mindestens ein Bube
>
> gesucht wäre dann [mm]P_E(D)[/mm] = [mm]\bruch{P(D\cap E)}{P(E)}[/mm] wobei
> [mm]P(D\cap[/mm] E)=P(D) wäre mit P(D) = [mm]\bruch{3}{248}[/mm]
>
> Desweiteren ist P(E) = P(C) + P(D) =
> [mm]\bruch{7}{31}+\bruch{3}{248}=\bruch{59}{248}[/mm]
>
> Insgesamt wären dies dann [mm]P_E(D)[/mm] = [mm]\bruch{3}{59}[/mm]
>
>
>
> In einem Buch finde ich für die Frage der bedingten
> Wahrscheinlichkeit jedoch folgende Lösung:
>
> Es sei
> E: Ein Karte im Skat ist ein Bube
> D: Die 2.Karte ist auch ein Bube
>
> [mm]P_E(D)=\bruch{P(D\cap E)}{P(E)} =\bruch{\bruch{4}{32}*\bruch{3}{31}}{\bruch{4}{32}}=\bruch{3}{31}[/mm]
>
> Wenn ich die beiden Lösungen vergleiche, dann habe ich im
> Nenner unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten.
>
> Ich nehme an, das liegt daran, dass die Formulierung in der
> Aufgabe ("Eine Karte im Skat ist ein Bube") ungenau ist,
> oder ?
> Welches ist die richtige Wahrscheinlichkeit ?
Hier ist in der Tat die Aufgabenstellung nicht eindeutig. Beide Lösungen sind (soweit ich es überblicke) richtig.
Die erste Lösung erhält man, wenn man das Ereignis E1: "Im Skat liegt mindestens ein Bube" betrachtet,
die zweite mit E2: "Die erste Karte im Skat ist ein Bube"
E1 und E2 sind verschiedene Ereignisse, daher ist klar, dass du auf unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten kommst. Und aus der Aufgabenstellung ist für mich nicht erkennbar, welches davon gemeint ist. Also im Zweifel beide Lösungen mit entsprechender Erklärung abliefern ....
>
> Vielen Dank für eure Antworten
>
> Viele Grüße
> Rubi
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Di 01.11.2011 | | Autor: | rubi |
Hallo rabilein1,
vielen Dank für deine Antwort.
Damit weiß ich, dass meine 1.Lösungsmöglichkeit falsch ist.
Kann mir jemand dennoch sagen, worin mein Denkfehler bei der 1.Möglichkeit bestand ?
Mir ist auch nicht klar, weshalb bei der 2.Möglichkeit im Nenner [mm] \bruch{4}{32} [/mm] steht.
Dies entspricht doch der Wahrscheinlichkeit, dass ich bei Ziehung einer Karte einen Buben ziehe.
Im Skat liegen doch aber 2 Karten und wie ist dann die Formulierung "Eine Karte im Skat ist ein Bube" zu interpretieren ?
Kann man das tatsächlich so auffassen wie "die 1.Karte im Skat ist ein Bube" ? Dies wäre ja dann eine Berücksichtigung der Reihenfolge und theoretisch könnte doch auch die 2.Karte im Skat ein Bube sein.
Bedeutet die Bedingung "Eine Karte im Skat ist ein Bube" also "Genau eine Karte im Skat ist ein Bube ? " (das wäre Ereignis C) oder "Mindestens eine Karte im Skat ist ein Bube ?
Viele Grüße
Rubi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:15 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
> Damit weiß ich, dass meine 1.Lösungsmöglichkeit falsch
> ist.
>
> Kann mir jemand dennoch sagen, worin mein Denkfehler bei
> der 1.Möglichkeit bestand ?
Nein, deine Lösung ist nicht per se falsch. Sie ist übrigens auch sehr sauber aufgeschrieben, was man bei Stochastik-Anfängern selten sieht...
Das Problem ist die unpräzise Aufgabenstellung. Seien E und E' die Ereignisse
E: mindestens ein Bube im Skat
E': erste Karte im Skat ein Bube
Du verstehst unter "eine Karte im Skat ist ein Bube" das Ereignis E, die Musterlösung und rabilein1 jedoch E'.
> Mir ist auch nicht klar, weshalb bei der 2.Möglichkeit im
> Nenner [mm]\bruch{4}{32}[/mm] steht.
> Dies entspricht doch der Wahrscheinlichkeit, dass ich bei
> Ziehung einer Karte einen Buben ziehe.
> Im Skat liegen doch aber 2 Karten und wie ist dann die
> Formulierung "Eine Karte im Skat ist ein Bube" zu
> interpretieren ?
> Kann man das tatsächlich so auffassen wie "die 1.Karte im
> Skat ist ein Bube" ? Dies wäre ja dann eine
> Berücksichtigung der Reihenfolge und theoretisch könnte
> doch auch die 2.Karte im Skat ein Bube sein.
Genau.
> Bedeutet die Bedingung "Eine Karte im Skat ist ein Bube"
> also "Genau eine Karte im Skat ist ein Bube ? " (das wäre
> Ereignis C) oder "Mindestens eine Karte im Skat ist ein
> Bube ?
"Genau eine Karte im Skat ist ein Bube" kommt nicht infrage, dann wäre die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit 0, wie du schon im Ausgangspost richtig festgestellt hast. Infrage kommen die Interpretationen E und E'.
Welche von beiden zutrifft, hängt davon ab, wie die Information "eine Karte im Skat ist ein Bube" zustandekommt, und darüber schweigt sich die Aufgabenstellung leider aus...
In meinem ersten Post habe ich anhand eines Spielleiters die beiden sinnvollen Möglichkeiten dargestellt: Guckt sich ein Spielleiter beide Karten des Skats an und gibt dann die Information, ob mindestens ein Bube darunter ist, so träfe deine Interpretation E zu. Guckt sich ein Spielleiter dagegen nur die erste Karte an und sagt dann, ob sie ein Bube ist, träfe Interpretation E' aus der Musterlösung zu.
Meiner subjektiven Meinung nach ist die Spielleitersituation zu E' die etwas naheliegendere Situation. Da aber in der Aufgabenstellung die Schilderung einer solchen Situation unterschlagen wird, halte ich deine Interpretation E für angemessener, da von einer ersten Karte keine Rede ist.
Vielen Mathematikern sind jedoch diese vermeintlichen "Feinheiten" nicht bewusst, dass es einen Unterschied macht, ob man unter E oder E' bedingt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Di 01.11.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> Welche von beiden zutrifft, hängt davon ab, wie die
> Information "eine Karte im Skat ist ein Bube"
> zustandekommt, und darüber schweigt sich die
> Aufgabenstellung leider aus...
Mir ist gar nicht klar / bewusst, dass man dieses unterschiedlich auffassen kann.
Ein Skat besteht doch aus zwei Karten. Diese beiden Karten liegen verdeckt auf dem Tisch. Nun deckt man eine der beiden Karten auf. Wenn diese Karte kein Bube ist, dann hat sich das Ganze erledigt, weil die Bedingung nicht erfüllt ist. Dann braucht man die zweite Karte gar nicht mehr aufdecken.
Wenn diese erst-aufgedeckte Karte jedoch ein Bube ist, dann ist die Bedingung erfüllt. Und dann gibt es noch 3 weitere Buben bei 31 verbleibenden Karten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 Di 01.11.2011 | | Autor: | donquijote |
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> > Welche von beiden zutrifft, hängt davon ab, wie die
> > Information "eine Karte im Skat ist ein Bube"
> > zustandekommt, und darüber schweigt sich die
> > Aufgabenstellung leider aus...
>
> Mir ist gar nicht klar / bewusst, dass man dieses
> unterschiedlich auffassen kann.
>
> Ein Skat besteht doch aus zwei Karten. Diese beiden Karten
> liegen verdeckt auf dem Tisch. Nun deckt man eine der
> beiden Karten auf. Wenn diese Karte kein Bube ist, dann hat
> sich das Ganze erledigt, weil die Bedingung nicht erfüllt
> ist. Dann braucht man die zweite Karte gar nicht mehr
> aufdecken.
>
> Wenn diese erst-aufgedeckte Karte jedoch ein Bube ist, dann
> ist die Bedingung erfüllt. Und dann gibt es noch 3 weitere
> Buben bei 31 verbleibenden Karten.
>
Aus "praktischer Sicht" eines Skatspielers ist diese Interpretation natürlich die naheliegendere.
Dann brauch amn aber gar mehr nicht so viel zu rechnen:
Nachdem ein Bube aufgenommen wurde, bleiben für die zweite Karte im Skat noch 31 Möglichkeiten, von denen 3 Buben sind - und schon steht die Lösung da.
PS. In der Regel aber kennt ein Skatspieler, bevor er den Skat aufnimmt, schon seine eigenen Karten. Und dann hängt die Wahrscheinlichkeit, einen oder zwei Buben im Skat zu finden, natürlich davon ab, wie viele Buben er schon auf der Hand hat.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Di 01.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Ralph,
> > Welche von beiden zutrifft, hängt davon ab, wie die
> > Information "eine Karte im Skat ist ein Bube"
> > zustandekommt, und darüber schweigt sich die
> > Aufgabenstellung leider aus...
>
> Mir ist gar nicht klar / bewusst, dass man dieses
> unterschiedlich auffassen kann.
>
> Ein Skat besteht doch aus zwei Karten. Diese beiden Karten
> liegen verdeckt auf dem Tisch. Nun deckt man eine der
> beiden Karten auf. Wenn diese Karte kein Bube ist, dann hat
> sich das Ganze erledigt, weil die Bedingung nicht erfüllt
> ist. Dann braucht man die zweite Karte gar nicht mehr
> aufdecken.
Wenn die Situation so ist, ist natürlich dein Ergebnis das einzig richtige. Möglicherweise sprechen die Skatregeln (die ich nicht kenne) für deine Interpretation.
Aus meiner Sicht geht diese Interpretation jedoch nicht klar aus der Aufgabenstellung hervor. Hätte der Aufgabensteller einfach das geschrieben, was du jetzt geschrieben hast, wäre alles klar.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:06 Mi 02.11.2011 | | Autor: | rabilein1 |
Es geht hier nicht um Skatregeln und Skatpraxis. Sondern einzig allein darum, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die zweite Karte ein Bube ist, nachdem die erste Karte bereits ein Bube war.
(Ob der Skatspieler sich vorher seine 10 Karten angeguckt hat und was er da gesehen hat, ist doch für diese Aufgabe völlig wurscht)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Mi 02.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> Es geht hier nicht um Skatregeln und Skatpraxis. Sondern
> einzig allein darum, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist,
> dass die zweite Karte ein Bube ist, nachdem die erste Karte
> bereits ein Bube war.
>
> (Ob der Skatspieler sich vorher seine 10 Karten angeguckt
> hat und was er da gesehen hat, ist doch für diese Aufgabe
> völlig wurscht)
Da gebe ich der recht. Wenn es aber nicht um Skatregeln und Skatpraxis geht, lässt sich die Aufgabe auf zweierlei Arten interpretieren und lösen:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit , dass die zweite Karte ein Bube ist, nachdem die erste Karte bereits ein Bube war?
oder
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit , dass die zweite Karte ein Bube ist, wenn bekannt ist, dann eine der Karten ein Bube ist?,
was ein anderes Ergebnis liefert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Di 01.11.2011 | | Autor: | rubi |
Vielen Dank an alle, die sich an der Beantwortung meiner Frage beteiligt haben.
Nun habe ich es verstanden !
Viele Grüße
Rubi
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