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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:22 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | | Bestimme alle Extrema von f(x,y,z)=xyz (nur mit notw. Bed.) , wobei [mm] (x,y,z)\in\IR^3 [/mm] , auf [mm] M=\{(x,y,z)\in\IR^3|x^2+y^2-z^2=1\} [/mm] |
Hallo,
muss man hier Lagrange anwenden oder geht es auch anders?
lagrange hab ich nämlich nicht so ganz verstanden...
ich hab mir eine ähnliche Aufgabe angeschaut und versucht die so ähnlich zu machen, aber bin leider nicht sehr weit gekommen....
[mm] h(x,y,z):=x^2+y^2-z^2-1
[/mm]
Lagrangschfunktion: [mm] F(x,y,z,\lambda)= [/mm] xyz + [mm] \lambda(x^2+y^2-z^2-1)
[/mm]
notw. Bed überprüfen:
grad F=0
grad F = [mm] \vektor{ yz + ? \\ xz + ? \\ xy + ? \\ x^2+y^2-z^2}=0
[/mm]
Wie kommt man denn auf diese Werte?
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> Bestimme alle Extrema von f(x,y,z)=xyz (nur mit notw. Bed.)
> , wobei (x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
, auf M={(x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] |
> [mm]x^2+y^2-z^2=1}[/mm]
> Hallo,
>
> muss man hier Lagrange anwenden oder geht es auch anders?
Hallo,
Lagrange ist hier die Methode der Wahl, und "man" muß das können.
>
> lagrange hab ich nämlich nicht so ganz verstanden...
> ich hab mir eine ähnliche Aufgabe angeschaut und versucht
> die so ähnlich zu machen,
Das ist eine ziemlich gute Idee.
Nebenbedingung:
> [mm]h(x,y,z):=x^2+y^2-z^2-1[/mm]
>
> Lagrangefunktion: [mm]F(x,y,z,\lambda)=[/mm] xyz +
> [mm]\lambda(x^2+y^2-z^2-1)[/mm]
>
> notw. Bed überprüfen:
> grad F=0
Um den Gradient zu finden, mußt Du F jeweils nach x,y,z und [mm] \lambda [/mm] partiell ableiten.
>
>
> grad F = [mm]\vektor{ yz + ? \\ xz + ? \\ xy + ? \\ x^2+y^2-z^2}=0[/mm]
grad F = [mm][mm] \vektor{ yz + 2x\lambda \\ xz + 2y\lambda \\ xy -2z\lambda \\ x^2+y^2-z^2 \green{-1}}
[/mm]
>
> Wie kommt man denn auf diese Werte?
Wie gesagt: F partiell ableiten.
Nun ist jede Komponente =0 zu setzen, dh. gradF=0, und das entstehende Gleichungssystem ist zu lösen.
Dies liefert Dir dann die Extremwertkandidaten.
Das [mm] \lambda [/mm] ist eine reine Hilfsvariable, welche am Ende niemanden mehr interessiert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo angela
> Um den Gradient zu finden, mußt Du F jeweils nach x,y,z und
> [mm]\lambda[/mm] partiell ableiten.
ah ja, jetzt sehe ich es auch!! :)
Danke für den hinweis!
Lg kreide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Kreide |
hallo,
muss ich beim lösen der gleichung gradF=0, dann [mm] \lambda [/mm] einfach wegdenken, also hab ich dann ein GLS mit 3 variablen?
beim lösen des GLS happert es noch ein wenig...
yz+2x=xz+2y [mm] \to [/mm] z=2
xy-2z=xy-4=0 [mm] \to [/mm] xy=4
[mm] x^2+y^2-4-1=0 \to x^2+y^2=5 [/mm] , dass kann aber nicht sein, wenn xy=4 sein soll
ich hab die befürchtung, dass ich das GLS falsch löse, aber ich weiß nicht wie ich es machen soll, da audürcke wie xz, xy und so vorkommen...
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noch eine ganz andere frage, die determinante von -4, ist die -4 oder 4
Lg kreide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Kreide,
die Determinante einer reellen quadratischen Matrix ist definiert durch:
[mm] det(\underline{A}):\IR^{n\times n}\mapsto\IR
[/mm]
also ist det(-4)=-4 [Anm. ich habe hier die det() - Schreibweise benutzt um nicht die || mit den Betragsstrichen durcheinander zu bringen - es wäre auch
|-4|=-4 eine richtige Notation, birgt halt Verwechslungsgefahr 
Liebe Grüße
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> hallo,
>
> muss ich beim lösen der gleichung gradF=0, dann [mm]\lambda[/mm]
> einfach wegdenken, also hab ich dann ein GLS mit 3
> variablen?
Nein, das [mm] \lambda [/mm] musst du beim Lösen des GLS beibehalten.
>
> beim lösen des GLS happert es noch ein wenig...
> yz+2x=xz+2y [mm]\to[/mm] z=2
> xy-2z=xy-4=0 [mm]\to[/mm] xy=4
> [mm]x^2+y^2-4-1=0 \to x^2+y^2=5[/mm] , dass kann aber nicht sein,
> wenn xy=4 sein soll
>
> ich hab die befürchtung, dass ich das GLS falsch löse, aber
> ich weiß nicht wie ich es machen soll, da audürcke wie xz,
> xy und so vorkommen...
>
Eine gute Möglichkeit bei sowas ist immer mit einer anderen Variable zu multiplizieren.
Wenn du [mm] yz+2x\lambda=0 [/mm] und [mm] xz+2y\lambda=0 [/mm] hast, dann könntest du die erste Gleichung mit x und die zweite mit y multiplizieren, dann haste [mm] xyz+2x^2\lambda=0 [/mm] und [mm] xyz+2y^2\lambda=0, [/mm] also [mm] xyz+2x^2\lambda=xyz+2y^2\lambda, [/mm] also [mm] x^2=y^2. [/mm] Vergiss bei solchen Umformungen aber nicht, dass du immer Lösungen verlieren könntest, wenn du mit 0 multiplizierst/durch 0 dividierst. Du musst also bei der obigen Umformung [mm] x,y,\lambda \not= [/mm] 0 fordern und diese Fälle dann gesondert betrachten.
> ---
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> noch eine ganz andere frage, die determinante von -4, ist
> die -4 oder 4
>
> Lg kreide
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 So 18.05.2008 | | Autor: | Kreide |
HAllo
Okay, wenn ich das so mache bekomme ich als Lösung raus:
|x|=|y|=|z|=1
Ich hätte also 27 verschiedene mögliche Extrempunkte?!?
(1,1,1)
(1,1,-1)
(1,-1,1)
.
.
.
(-1,-1,-1)
_______
Dann hab ich mir nochmal die Fälle für x=0 ; y=0 ; z=0 angeschaut:
z.B
x=0
Grad F [mm] \vektor{yz \\ 2y\lamda \\-2z\lambda \\y^2-z^2-1}=0
[/mm]
[mm] yz=2y\lamda \to [/mm] y=0
[mm] -2z\lambda \to [/mm] z=0
[mm] y^2-z^2-1=0
[/mm]
0-0-1=0
-1=0 [mm] \to [/mm] Widerspruch [mm] \to [/mm] x=0 kommt als extrempunkt nicht in Frage
Weiß jemand ob ich das korrekt gemacht habe?
LG kreide
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> Okay, wenn ich das so mache bekomme ich als Lösung raus:
> |x|=|y|=|z|=1
Hallo,
das kann ja nicht richtig sein, denn dann ist doch die Nebenbedingung nicht erfüllt.
EDIT: die Nebenbedingung ist ist erfüllt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 So 18.05.2008 | | Autor: | Kreide |
hallo,
wieso ist die nebenbedingung nicht erfüllt?
[mm] 1^2+1^2-1^2=1
[/mm]
(auf der linken seite kann ich beliebig die 1 durch -1 ersetzen.
Oder verstehe ich die nebenbedingung falsch?
Lg kreide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Sie ist erfüllt.
Bei |x|=|y|=|z|=1 zähle ich 2*2*2=8 Möglichkeiten und nicht 27.
Ausserdem hast du dich eh verrechnet.
grad f = [mm] \vektor{ yz + 2x\lambda \\ xz + 2y\lambda \\ xy -2z\lambda \\ x^2+y^2-z^2-1}. [/mm] Wenn du nun x=y=z=1 einsetzt, dann kommt da nicht Null raus - unabhängig vom [mm] \lambda.
[/mm]
Da wir grad dabei sind... du musst das [mm] \lambda [/mm] immer mit angeben bei der Lösung, damit man nachrechnen kann, ob die Lösung richtig ist.
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:23 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Die Nebenbedingung ist doch [mm] x^2+y^2-z^2=1.
[/mm]
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 07:37 Mo 19.05.2008 | | Autor: | angela.h.b. |
> Die Nebenbedingung ist doch [mm]x^2+y^2-z^2=1.[/mm]
Hallo,
in der Tat!
Die verlorene 1 aus meiner ersten Antwort macht sich hier erneut bemerkbar.
Ich werd's gleich korrigieren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:09 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo Merle
du meintest ja das [mm] x^2=y^2=z^2=1 [/mm] keine Lösung sein kann. Wenn ich das in den Gradienten einsetze hast du recht; aber ich hab das GLS gelöst wie du meintest.
Als erstes kommt ja [mm] x^2=y^2 [/mm] raus,
genauso mach ich es mit
xz+2y [mm] \lambda=xy-2z \lambda
[/mm]
[mm] \to y^2=z^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^2=y^2=z^2
[/mm]
dies setze ich dann in die letze zeile vom gradienten ein
[mm] x^2+x^2-x^2-1=0
[/mm]
[mm] x^2=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x^2=y^2=z^2=1
[/mm]
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ich hab da doch richtig gerechnet, gell?; ist nur komisch, dass es nicht stimmt, wenn ich die werte in den gradienten einsetze...
Lg
kreide
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> Hallo Merle
>
> du meintest ja das [mm]x^2=y^2=z^2=1[/mm] keine Lösung sein kann.
> Wenn ich das in den Gradienten einsetze hast du recht; aber
> ich hab das GLS gelöst wie du meintest.
>
> Als erstes kommt ja [mm]x^2=y^2[/mm] raus,
Hallo,
ob es stimmt, daß das "als erstes" herauskommt, kann man entscheiden, wenn man weiß, was Du als erstes tust...
Aber ich hoffe zu ahnen, was Du tust:
Du hast die erste Gleichung mit x multipliziert, die 2. mit y und dann gleichgesetzt mit dem Ergebnis
[mm] x^2\lambda=y^2\lambda.
[/mm]
Die Folgerung, daß dann [mm] x^2=y^2 [/mm] ist, ist nur die halbe Wahrheit.
Es folgt [mm] x^2=y^2 [/mm] oder [mm] \lambda=0
[/mm]
>
> genauso mach ich es mit
>
> xz+2y [mm]\lambda=xy-2z \lambda[/mm]
> [mm]\to y^2=z^2[/mm]
Diese Folgerung stimmt überhaupt nicht.
Was stimmt, ist folgendes:
xz+2y [mm] \lambda=0 [/mm] und
xy-2z [mm] \lambda=0
[/mm]
==> [mm] xyz+2y^2\lambda=xyz-2z^2\lambda
[/mm]
==> ???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Di 20.05.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo,
> Was stimmt, ist folgendes:
>
> xz+2y [mm]\lambda=0[/mm] und
> xy-2z [mm]\lambda=0[/mm]
>
> ==> [mm]xyz+2y^2\lambda=xyz-2z^2\lambda[/mm]
>
==> [mm] y^2=-z^2
[/mm]
==> [mm] x^2=y^2=-z^2
[/mm]
setze dies nun in die 4.zeile vom gradienten ein:
[mm] x^2+x^2+x^2-1=0
[/mm]
==> [mm] x^2=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] ==>x^2=y^2=\bruch{1}{3} [/mm] ( = [mm] -z^2)
[/mm]
das mit dem [mm] -z^2=\bruch{1}{3} [/mm] bzw [mm] z^2=-\bruch{1}{3} [/mm] kann ja nicht stimmen
bedeutet dies, dass es gar keine extrema gibt?
Lg kreide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
Vergiss nicht die Fälle [mm] \lambda, [/mm] x, y, z = 0 zu überprüfen.
Bei [mm] \lambda [/mm] = 0 kommt z.B. noch u.a. x=1, y=0, z=0 als lokales Minimum raus. Und es gibt noch viele weitere Minima.
edit: M ist nicht kompakt, d.h. es muss nicht unbedingt (globale) Minima/Maxima geben.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 23:39 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
grad F = [mm] \vektor{ yz + 2x\lambda \\ xz + 2y\lambda \\ xy -2z\lambda \\ x^2+y^2-z^2-1 }
[/mm]
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