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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 So 26.06.2011 | | Autor: | anetteS |
| Aufgabe | Es soll die Losung des Anfangswertproblems
[mm] y'(x)=\bruch{y(x)}{x}+\bruch{x}{y(x)} [/mm] x>0 zum Startwert y(1)=1 bestimmt werden. |
Hallo!
Vorerst muss ich sagen, dass wir gerade erst mit DGLs angefangen haben, ich habe also praktisch noch gar keine Erfahrung mit dem Lösen von DGLs.
Ich habe rausgefunden, dass die obige Gleichung eine Bernoulli-DGl ist. Durch Substitution habe ich folgende lineare Gleichung bekommen:
[mm] u(x)=\bruch{2}{x}*u(x)+2x
[/mm]
An dieser Stelle weiß ich jetzt nicht mehr weiter. Im Internet habe ich was von homogenen und inhomogenen Lösungen gelesen. Leider habe ich das nicht so richtig verstanden, so dass ich es nicht auf mein Problem hier anwenden kann.
Hoffe, es kann mir jemand von Euch helfen.
Vielen Dank und viele Grüße,
Anette.
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Hallo,
> Es soll die Losung des Anfangswertproblems
> [mm]y'(x)=\bruch{y(x)}{x}+\bruch{x}{y(x)}[/mm] x>0 zum Startwert
> y(1)=1 bestimmt werden.
> Hallo!
>
> Vorerst muss ich sagen, dass wir gerade erst mit DGLs
> angefangen haben, ich habe also praktisch noch gar keine
> Erfahrung mit dem Lösen von DGLs.
>
> Ich habe rausgefunden, dass die obige Gleichung eine
> Bernoulli-DGl ist. Durch Substitution habe ich folgende
> lineare Gleichung bekommen:
>
> [mm]u(x)=\bruch{2}{x}*u(x)+2x[/mm]
Ich habe:
[mm]u'(x)=\bruch{2}{x}*u(x)+2x[/mm]
Wahrscheinlich hast Du nur den Strich ' vergessen.
Weiter geht es mit der Lösung der homogenen DGL :
[mm]u'(x)=\bruch{2}{x}*u(x)[/mm]
[mm]\int \frac{1}{u} \; du= 2* \int\bruch{1}{x} \; dx[/mm]
$ln|u|=2*ln|x|+c'$
[mm] $u=C*x^2$
[/mm]
Weiter mit Variation der Konstanten:
[mm] $u=C(x)*x^2$
[/mm]
> An dieser Stelle weiß ich jetzt nicht mehr weiter. Im
> Internet habe ich was von homogenen und inhomogenen
> Lösungen gelesen. Leider habe ich das nicht so richtig
> verstanden, so dass ich es nicht auf mein Problem hier
> anwenden kann.
>
> Hoffe, es kann mir jemand von Euch helfen.
>
> Vielen Dank und viele Grüße,
> Anette.
Zur Kontrolle: ich habe:
$y= [mm] \pm x*\sqrt{ln|x^2|}$
[/mm]
LG, Martinius
Edit: habe aus Versehen die Konstante vergessen; sorry
Richtig ist: $y= [mm] \pm x*\sqrt{ln|x^2|+D}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:48 So 26.06.2011 | | Autor: | anetteS |
Ja, es sollte u'(x) heißen.
Vielen Dank für die Antwort, ich denke, ich kriege es jetzt hin.
Viele Grüße,
Anette.
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