beschr.abgeschl. nicht kompak < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei
[mm] l^{\infty}(\mathbb{R}) [/mm] := { x = [mm] (x_k)_{k \in \mathbb N} \subset \mathbb{R} [/mm] | [mm] (x_k)_{k \in \mathbb N} [/mm] beschränkt }
x + y := [mm] (x_k [/mm] + [mm] y_k)_{k \in \mathbb N} [/mm] und [mm] \lamba [/mm] x := [mm] (\lambda x_k)_{k \in \mathbb N} [/mm] für x,y [mm] \in l^{\infty}(\mathbb{R}), \lambda \in \mathbb{R}
[/mm]
für x [mm] \in l^{\infty}(\mathbb{R}) [/mm] sei:
[mm] ||x||_\infty [/mm] := [mm] sup\{|x_k| : k \in \mathbb{N} \}
[/mm]
(a) Beweisen sie [mm] ||x||_\infty [/mm] ist eine Norm auf [mm] l^{\infty}(\mathbb{R})
[/mm]
(b) Sei nun [mm] l^{\infty}(\mathbb{R}) [/mm] versehen mit der von der Norm [mm] ||x||_\infty [/mm] induzierten Metrik. Finden sie eine abgeschlossene, beschränkte Teilmenge von [mm] l^{\infty}(\mathbb{R}), [/mm] die nicht kompakt ist. |
Hi
zu (a)
Hier muss man ja einfach die Definition einer Norm durchgehen, also hab ich das so gemacht:
1. [mm] ||\lambda x||_{\infty} [/mm] = [mm] sup\{|\lambda x_k : k \in \mathbb{N}\} [/mm] = [mm] |\lambda| sup\{|x_k| : k \in \mathbb{N}\} [/mm] = [mm] |\lambda| ||x||_{\infty}
[/mm]
2. [mm] ||x+y||_{\infty} [/mm] = [mm] sup\{|x_k + y_k| : k \in \mathbb{N}\} \le sup\{|x_k| : k \in \mathbb{N}\} [/mm] + [mm] sup\{|y_k| : k \in \mathbb{N}\} [/mm] = [mm] ||x||_{\infty} [/mm] + [mm] ||y||_{\infty}
[/mm]
3. Hier muss ich zeigen: [mm] ||x||_{\infty} [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x = 0
Leider weiss ich nicht so genau wie ich das hinschreiben soll.
[mm] ||x||_{\infty} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow (x_k)_{k \in \mathbb{N}} [/mm] = 0, da steht ja dann wenn sup der Folge = 0 dann ist die Folge = 0??
naja zu (b) hab ich leider gar keine Ahnung, wir haben Kompaktheit so definiert : Eine Menge ist genau dann kompakt wenn jede Folge der Menge eine in dieser Menge konvergente Teilfolge hat.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 So 21.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei
> [mm]l^{\infty}(\mathbb{R})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { x = [mm](x_k)_{k \in \mathbb N} \subset \mathbb{R}[/mm]
> | [mm](x_k)_{k \in \mathbb N}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
beschränkt }
> x + y := [mm](x_k[/mm] + [mm]y_k)_{k \in \mathbb N}[/mm] und [mm]\lamba[/mm] x :=
> [mm](\lambda x_k)_{k \in \mathbb N}[/mm] für x,y [mm]\in l^{\infty}(\mathbb{R}), \lambda \in \mathbb{R}[/mm]
>
> für x [mm]\in l^{\infty}(\mathbb{R})[/mm] sei:
> [mm]||x||_\infty[/mm] := [mm]sup\{|x_k| : k \in \mathbb{N} \}[/mm]
>
> (a) Beweisen sie [mm]||x||_\infty[/mm] ist eine Norm auf
> [mm]l^{\infty}(\mathbb{R})[/mm]
>
> (b) Sei nun [mm]l^{\infty}(\mathbb{R})[/mm] versehen mit der von der
> Norm [mm]||x||_\infty[/mm] induzierten Metrik. Finden sie eine
> abgeschlossene, beschränkte Teilmenge von
> [mm]l^{\infty}(\mathbb{R}),[/mm] die nicht kompakt ist.
> Hi
>
> zu (a)
> Hier muss man ja einfach die Definition einer Norm
> durchgehen, also hab ich das so gemacht:
>
> 1. [mm]||\lambda x||_{\infty}[/mm] = [mm]sup\{|\lambda x_k : k \in \mathbb{N}\}[/mm]
> = [mm]|\lambda| sup\{|x_k| : k \in \mathbb{N}\}[/mm] = [mm]|\lambda| ||x||_{\infty}[/mm]
>
> 2. [mm]||x+y||_{\infty}[/mm] = [mm]sup\{|x_k + y_k| : k \in \mathbb{N}\} \le sup\{|x_k| : k \in \mathbb{N}\}[/mm]
> + [mm]sup\{|y_k| : k \in \mathbb{N}\}[/mm] = [mm]||x||_{\infty}[/mm] +
> [mm]||y||_{\infty}[/mm]
Zu 1. und 2. : ob Deinen Chefs diese Kürze genügt, bezweifle ich.
> 3. Hier muss ich zeigen: [mm]||x||_{\infty}[/mm] = 0
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] x = 0
> Leider weiss ich nicht so genau wie ich das hinschreiben
> soll.
> [mm]||x||_{\infty}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow (x_k)_{k \in \mathbb{N}}[/mm] =
> 0, da steht ja dann wenn sup der Folge = 0 dann ist die
> Folge = 0??
Ja, das steht da. Und warum ist das so ?
>
> naja zu (b) hab ich leider gar keine Ahnung, wir haben
> Kompaktheit so definiert : Eine Menge ist genau dann
> kompakt wenn jede Folge der Menge eine in dieser Menge
> konvergente Teilfolge hat.
Ja.
[mm] $K:=\{x \in l^{\infty}(\mathbb{R}) : ||x||_\infty \le 1 \}$
[/mm]
Zeige: K ist beschränkt und abgeschlossen, aber nicht kompakt.
FRED
>
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Danke für deine Antwort.
> Zu 1. und 2. : ob Deinen Chefs diese Kürze genügt, bezweifle ich.
Und wie mache ich das ausführlicher, versteh ich leider nicht.
> Ja, das steht da. Und warum ist das so ?
Was genau bedeutet es wenn [mm] (x_k) [/mm] = 0 ist? Das alle Folgenglieder = 0 sind? Aber warum sollte das aus sup = 0 folgen, es könnte ja auch negative Folgengleider geben und ein Folgenglied = 0, dann wäre sup = 0 aber [mm] (x_k) \neq [/mm] 0.
> $ [mm] K:=\{x \in l^{\infty}(\mathbb{R}) : ||x||_\infty \le 1 \} [/mm] $
Ok ich versuchs mal:
K ist beschränkt, weil 0 [mm] \le ||x||_\infty \le [/mm] 1, also K enthält nur die Folgen die diese Eigenschaft 0 [mm] \le [/mm] sup [mm] \le [/mm] 1 erfüllen
K ist abgeschlossen, also muss ich zeigen dass [mm] Y:=\{x \in l^{\infty}(\mathbb{R}) : ||x||_\infty > 1 \} [/mm] offen ist, da weiss leider auch nicht mehr weiter.
K ist nicht kompakt: Hier muss ich ja dann zeigen dass die Teilfolgen aus K nicht in K konvergieren. Und das versteh ich auch nicht so richtig, denn jede beschränkte Folge hat ja eine konvergente Teilfolge. Nun weiss ich nicht wie ich zeigen soll das diese eben nicht in K konvergiert...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 So 21.12.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> Danke für deine Antwort.
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> > Zu 1. und 2. : ob Deinen Chefs diese Kürze genügt,
> bezweifle ich.
> Und wie mache ich das ausführlicher, versteh ich leider
> nicht.
Z.B. verwendest du in 2. zwei Ungleichungen in einem Schritt.
>
> > Ja, das steht da. Und warum ist das so ?
> Was genau bedeutet es wenn [mm](x_k)[/mm] = 0 ist? Das alle
> Folgenglieder = 0 sind? Aber warum sollte das aus sup = 0
> folgen, es könnte ja auch negative Folgengleider geben und
> ein Folgenglied = 0, dann wäre sup = 0 aber [mm](x_k) \neq[/mm] 0.
Der Betrag ist aber nicht negativ und genau deshalb folgt [mm] $(x_k)=0\in l^\infty$, [/mm] d.h [mm] $x_k=0\in \mathbb{K}$ [/mm] für alle k.
>
> > [mm]K:=\{x \in l^{\infty}(\mathbb{R}) : ||x||_\infty \le 1 \}[/mm]
>
> Ok ich versuchs mal:
> K ist beschränkt, weil 0 [mm]\le ||x||_\infty \le[/mm] 1, also K
> enthält nur die Folgen die diese Eigenschaft 0 [mm]\le[/mm] sup [mm]\le[/mm]
> 1 erfüllen
> K ist abgeschlossen, also muss ich zeigen dass [mm]Y:=\{x \in l^{\infty}(\mathbb{R}) : ||x||_\infty > 1 \}[/mm]
> offen ist, da weiss leider auch nicht mehr weiter.
Das wird wohl nicht der einfachste Weg sein. Was wissen wir den über "stetige Urbilder" abgeschlossener Mengen?
> K ist nicht kompakt: Hier muss ich ja dann zeigen dass die
> Teilfolgen aus K nicht in K konvergieren. Und das versteh
> ich auch nicht so richtig, denn jede beschränkte Folge hat
> ja eine konvergente Teilfolge.
Ist das so? Denk nochmal darüber nach.
> Nun weiss ich nicht wie ich
> zeigen soll das diese eben nicht in K konvergiert...
Betrachte eine passende Folge [mm] $(x_n)\subset l^\infty$, [/mm] z.B. [mm] $x_1=(1,0,0,\dots)$, $x_2=(1,1,0,0,\dots), x_3=(1,1,1,0,0,\dots),\dots
[/mm]
Wie soll eine Teilfolge von [mm] $(x_n)$ [/mm] konvergieren?
(Geht übrigens noch etwas einfacher mit einem Satz über die Kompaktheit von abgeschlossenen Kugeln in normierten Räumen)
Liebe Grüße
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Ok ich habe jetzt erstmal den ersten Teil gemacht, also den Beweis der Norm, und hab das ganze jetzt so formuliert:
1. $ [mm] ||x||_{\infty} [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] x = 0$
Die Richtung $ [mm] \Rightarrow [/mm] : $ Da $ [mm] sup\{|x_k|\} [/mm] = 0$ und $ [mm] |x_k| \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] $ Folge besteht nur aus 0 [mm] $\Rightarrow [/mm] x = [mm] (x_k) [/mm] = 0$
Die Rückrichtung: Wenn $ x = [mm] (x_k) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow sup(x_k) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow sup\{ |x_k |\} [/mm] = 0 = [mm] ||x||_\infty$
[/mm]
2. [mm] $||\lambda x||_\infty [/mm] = [mm] sup\{|\lambda x_k| \} [/mm] = [mm] sup\{|\lambda|*|x_k| \} [/mm] = [mm] sup\{|\lambda| \}* sup\{ |x_k| \} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] * [mm] ||x||_\infty$
[/mm]
3. [mm] $||x+y||_\infty [/mm] = [mm] sup\{|x_k + y_k| \} \le sup\{|x_k| + |y_k| \} \le sup\{|x_k| \}+ sup\{|y_k| \} [/mm] = [mm] ||x||_\infty [/mm] + [mm] ||y||_\infty$
[/mm]
So ok?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 So 21.12.2014 | | Autor: | andyv |
Von mir aus kannst du das so stehen lassen.
(Natürlich sollte man aber noch jeweils dazu schreiben über welche Menge das Supremum gebildet wird.)
Liebe Grüße
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OK danke schonmal andyv
> Das wird wohl nicht der einfachste Weg sein. Was wissen wir den über "stetige Urbilder" abgeschlossener Mengen?
Diese sind auchabgeschlossen, aber ich versteh nicht ganz wie ich das auf die Aufgabe anwenden kann, was ist denn das Urbild von K??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 So 21.12.2014 | | Autor: | andyv |
Es ist [mm] $K=f^{-1}([0,1])$ [/mm] mit der stetigen Funktion $f: [mm] l^\infty \to [0,\infty), [/mm] \ x [mm] \mapsto \|x\|_\infty$.
[/mm]
Liebe Grüße
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Danke, das hat mir schonmal weiter geholfen!
so dann nochmal zur Kompaktheit:
> Betrachte eine passende Folge [mm] $(x_n)\subset l^\infty$, $x_1=(1,0,0,\dots)$, $x_2=(1,1,0,0,\dots), x_3=(1,1,1,0,0,\dots),\dots [/mm] $
Ok das davon keine Teilfolge konvergiert kann ich verstehen, allerdings weiss ich nicht wirklich wie ich das allgemein formulieren kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Mo 22.12.2014 | | Autor: | andyv |
Für eine beliebige Teilfolge [mm] $(x_{n_k})$ [/mm] von [mm] $(x_n)$ [/mm] gilt [mm] $\|x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\|_\infty\ge [/mm] 1$ für alle k, also ist [mm] $(x_{n_k})$ [/mm] keine Cauchy-Folge.
Liebe Grüße
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Danke, fast versteh ich es :)
> $ [mm] \|x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\|_\infty\ge [/mm] 1 $
Warum gilt dass?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Mo 22.12.2014 | | Autor: | andyv |
Das gilt wegen der Definition der Folge [mm] $(x_n)$. [/mm] Genauer gilt sogar $ [mm] \|x_{n_{k+1}}-x_{n_k}\|_\infty= [/mm] 1 $ , falls dich [mm] "$\ge$" [/mm] stört.
Liebe Grüße
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Danke, vielleicht hätte ich gestern einfach früher schlafen gehen sollen :)
Hab mir jetzt nochmal alles angeschaut und jetzt versteh ich es auch. Danke an euch und frohe Weihnachten
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